数值分析--32正交多项式及最小二乘拟合.ppt

* §6 正交多项式与最小二乘拟合 /* Orthogonal Polynomials Least-Squares Approximation */ 已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近似函数 P(x) ? f(x) 使得 最小。 已知 [a, b]上定义的 f(x)，求一个简单易算的近似函数 P(x) 使得 最小。 定义 　　　线性无关/* linearly independent */函数族{ ?0(x), ?1(x), … , ?n(x), … } 满足条件：其中任意函数的线性组合 a0?0(x)+a1?1(x)+… +an?n(x)=0 对任意 x?[a, b]成立 当且仅当 a0= a1=… =an=0。 定义 　　　考虑一般的线性无关函数族?={ ?0(x), ?1(x), … , ?n(x), … }，其有限项的线性组合 称为广义多项式 /* generalized polynomial */. 常见多项式： ? { ?j(x) = x j } 对应代数多项式 /* algebraic polynomial */ ? { ?j(x) = cos jx }、{ ?j(x) = sin jx } ? { ?j(x), ?j(x) }对应三角多项式 /* trigonometric polynomial */ ? { ?j(x) = e kj x , ki ? kj } 对应指数多项式 /* exponential polynomial */ 定义 权函数： ① 离散型 /*discrete type */ 根据一系列离散点 拟合时，在每一误差前乘一正数wi ，即 误差函数? ，这个wi 就称作权/* weight*/，反映该点的重要程度。 ? = - = n i i i i y x P w 1 2 ] ) ( [ ② 连续型 /*continuous type */ 在[a, b]上用广义多项式 P(x) 拟合连续函数 f(x) 时，定义权函数 ?(x) ?C[a, b]，即误差函数? = 。权函数必须?(x)满足：非负、可积，且在[a, b]的任何子区间上?(x) ? 0。 §6 Orthogonal Polynomials L-S Approximation 定义 广义 L-S 拟合： ① 离散型 /*discrete type */ 在点集{ x1 … xm } 上测得{ y1 … ym }，在一组权系数{ w1 … wm }下求广义多项式 P(x) 使得误差函数 ? 最小。 ? = - = n i i i i y x P w 1 2 ] ) ( [ ② 连续型 /*continuous type */ 已知 y(x) ?C[a, b] 以及权函数 ?(x)，求广义多项式 P(x) 使得误差函数? = 最小。 dx x y x P x b a 2 )] ( ) ( [ ) ( - ? r 内积与范数 离散型 连续型 则易证( f, g ) 是内积，而 是范数。 ( f, g )=0 表示 f 与 g 带权正交。 广义 L-S 问题可叙述为：求广义多项式P(x)使得 最小。 §6 Orthogonal Polynomials L-S Approximation n k y a k n j j j k , ... , 0 , ) , ( ) , ( 0 = = ? = j j j 设 则完全类似地有： ) ( ... ) ( ) ( ) ( 1 1 0 0 x a x a x a x P n n j j j + + + = 法方程组 /*normal equations */ 定理 Ba = c 存在唯一解 ? ?0(x), ?1(x), … , ?n(x) 线性无关。 即： ) , ( ) , ( ) , ( 0 0 y y a a b n n j i ij j j j j = = = c 证明：若存在一组系数 {?i } 使得 0 ... 1