数值分析典型例题及习题4.ppt

* 数值求积公式及代数精度 数值求导方法与截断误差 一阶常微分方程数值法 局部截断误差与精度 《数值分析》典型例题 IV ? ? ? ? 插值型求积公式: 求积系数 求积余项 等距结点插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,偶数阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精度 2/16 求积结点 1.梯形公式 复合梯形求积公式 令h=(b-a)/n 求积余项 3/16 2. 辛卜生公式 求积余项: 两点高斯型数值求积公式 4/16 练习: 复合辛卜生公式求积余项? 一阶向前差商 一阶向后差商 二阶中心差商 一阶中心差商 5/16 外推算法 练习：二阶中心差商的外推公式？ 6/16 1. Euler方法 常微分方程初值问题 2. 梯形公式: 7/16 预测-校正公式 局部截断误差 设 yn= y(xn), 称Rn+1=y(xn+1) - yn+1为局部截断误差 常表示为: O(hp+1)， p 称为单步法的精度阶数 又称为修正的Euler公式 yn+1= yn+ 0.5h[ k1+ k2] k1=f(xn,yn), k2=f(xn+h, yn+hk1) 8/16 Ex1.推导左矩形求积公式 令 F(u)= F(a) + (u-a)F’(a) +0.5(u-a)2F ”(?) 练习: 9/16 Ex3. 求复合中矩形公式 的求积误差? Ex2.复合左矩形求积公式的求积误差 设被积函数在积分区间上的一阶导数连续,由连续函数介值定理 ? 10/16 Ex4.利用复合梯形公式计算积分 使其截断误差不超过 0.5×10-3,应算多少次函数值？ 提示： 练习: 给定积分 当要求误差小于10-3时用复合梯形公式和Simpson公式计算时, 需要计算多少次函数值？ 11/16 Ex5. 验证，复合梯形公式与复合Simpson 公式之间有如下关系 12/16 *