数学分析(第8.1节不定积分概念及基本积分公式).ppt

返回 后页 前页 第8章 不定积分 不定积分概念与基本积分公式 换元积分法与分部积分法 有理函数和可化为有理函数的不定积分 第8.1节 不定积分概念与基本积分公式 原函数与不定积分 基本积分表 不定积分的性质 一、原函数与不定积分 1.问题的提出 已知质点的运动规律s=s(t),则速度v(t)=s(t); 反之若已知质点各时刻的运动速度v=v(t) 如何求其运动规律s=s(t)? 从数学角度看：找一函数s=s(t)， 使s(t) =v(t) . 2.原函数 定义1 原函数. 例如 （1）满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存在原函数,它是否惟一? （2）若已知某个函数的原函数存在,如何把它求出来? 要求出它们的原函数也不是一件容易的事. 因此,如下问题要关注： 应该注意到： 尽管象 这种形式简单的函数, 注 (i) 连续函数一定有原函数； (iv)函数的两个原函数间相差一个常数； (iii) 任一函数的原函数（若存在）有无穷多； 定理1 (原函数存在性定理) (ii) 初等函数在其定义区间上都有原函数； 定理2 (原函数族的结构性定理) (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差一个常数. 原函数的全体为： 函数族 积分变量 定义2 积分常数 被积表达式 积分号 积分变量 3.不定积分 被积函数 即 例1 求 解 解 例2 求 例3 求 解 例4 设曲线通过点(1,3), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点(1,3)， 所求曲线方程为 代入上式,得 -2 -1 O 1 2 x -2 -1 1 2 y y?x2+2 y?x2 (1, 3) ． 原函数的图像 积分曲线 积分曲线. O x y x y=F(x) f 的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得的一切积分曲线组成的积分曲线(族). 一般地，有 不定积分几何意义 特点 4.积分运算与微分运算的关系 先积后微形式不变 先微后积差一常数 例如 二、基本积分表 是常数); 证 故等式成立. (此性质可推广到有限多个函数之和的情况) 三、不定积分的性质 定理3（线性运算法则） 存在原函数, k1, k2为任意常数, 则 例5 求不定积分 解 例6 求不定积分 解 例7 求不定积分 解 例8 求不定积分 解 被积函数进行恒等变形，再使用基本积分公式. 例9 求不定积分 解 例10 解 基本积分公式 不定积分的性质 原函数与不定积分的概念 小 结 思考练习题 思考练习题答案 返回 后页 前页