数学系关于泰勒公式应用毕业论文.doc

浅谈泰勒公式及其应用 摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。 关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式 泰勒公式的应用 1、利用泰勒公式求极限 对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。 例1 求 分析：此题分母为，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。 解： 因为 将换成有 又 所以 故 例2 求极限 解： 因为分母的次数为4，所以只要把，展开到的4次幂即可。 故 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。 例4 估计近似公式 的绝对误差。 解： 设,则因为 所以 带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为： 从而： （2）利用泰勒公式求近似值 例5 计算的值，使其误差不超过 解： 由 得 当时 （） 故，当时，便有 从而略去而求得的近似值为 3、泰勒在不等式证明中的应用 关于不等式的证明，我们已经知道了许多方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法。下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法。 例6 设在二次可导，而且，，试求存在，使。 证明： 由于在的最小值不等于在区间端点的值，故在内存在，使，由费马定理知，。 又 （介于与之间） 由于，不令和，有 所以 当时，，而当时，，可见与中必有一个大于或等于8。 在行列式计算中的应用 若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值。 例7 求n阶行列式 （3） 解： 记,按泰勒公式在z处展开： （4） 易知 （5） 由（5）得,。 根据行列式求导的规则,有 于是在处的各阶导数为 , , … … … … 把以上各导数代入（2）式中,有 若,有, 若,有。 5、在判定敛散性方面的应用 （1）在广义积分敛散性中的应用 在判定广义积分敛散性时, 通常选取广义积分进行比较, 在此通过研究无穷小量的阶来有效地选中的值，从而简单地判定的敛散性（注意到：如果得收敛，则得收敛）。 例8 研究广义积分的敛散性.。 解 ： 因此，，即是的阶，而收敛，故收敛，从而。 （2）泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用 首先给出以下两个定理 定理3 若,且～ ,则与 同敛散性。 定理4 若条件收敛,而绝对收敛,则条件收敛。 利用上述两个定理和泰勒公式可以很方便地讨论一些复杂级数的敛散性。 例9 判别 ， 的敛散性。 此题难度很大,用其他方法几乎无法讨论其敛散性,若用泰勒公式作工具则能轻而易举地得出结论。 解: 由泰勒公式得的一阶展开式,在0与之间,从而，在0 与之间,于是 因为当时条件收敛,当时绝对收敛,又由知, 当 时，收敛,当时发散。所以，当时发散，当时条件收敛,当 时绝对收敛。 7、在证明与求解积分方面的应用 （1）在定积分证明的方面，泰勒公式对于求被积函数有二阶或二阶以上的连续导数的问题来说十分的好用，主要是通过作辅助函数，对有用的点进行泰勒公式展开并对余项作合适的处理。 例11 设在上二阶连续可微，则在这个区间上存在一个，使得。 证明：令，将在处展开， 得在之间， 令，则得到 （9） 令，则得到 （10） 用（9）-（10）得到 再令，且，则 因为在上连续，由介值定理知，使得 所以 （2）泰勒公式在求解数值积分中的应用 设为的原函数，由牛顿—莱布尼兹公式知，对定义在区间上的定积分，有： 但是，并不是区间