有限元及有限差分法基础.ppt

第二讲 有限元与有限差分法基础 CAE的工具： 有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、边界元法（BEM）、有限体积法（FVM）、无网格法等等 在材料成形的CAE中主要使用的是有限元法和有限差分法 2.1 有限元法基础 基本思想： ※将一个连续求解域（对象）离散（剖分）成有限个形状简单的子域（单元） ※利用有限个节点将各子域连接起来 ※在给定的初始条件和边界条件下进行综合计算求解，从而获得对复杂工程问题的近似数值解 物理系统举例 有限元模型 自由度（DOFs） 节点(node)和单元(element) 网格（grid） 节点和单元 为什么要离散？ 1.无法得到复杂实际问题的解析解 2.将域划分成一些微小而形状规则的单元后，便于在一个单元内得到近似解 3.域中所有单元的解可视为该复杂问题的近似解 有限元分析的过程 1.连续体离散化 2.单元分析 3.整体分析 4.确定约束条件 5.方程求解 6.结果分析与讨论 1.连续体离散化 连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。 　　离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限 个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个 单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。 　　相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传 递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。 　　 *单元划分后，给每个单元及节点进行编号； 　　 *选定坐标系，计算各个节点坐标； 　　 *确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。 有限元分析模型图例 将悬臂梁划分为许多三角形单元 三角形单元的三个顶点都是节点 载荷直接施加在节点上 2.单元分析(2) (2) 分析单元的特性，建立单元刚度矩阵　　 ? 进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面 力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷； ? 采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内节 点位移与节点力之间的关系矩阵——单元刚度矩阵。 3. 整体分析 把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各单元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。 集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。 4. 确定约束条件 由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解之前，必修根据具体情况分析，确定求解对象问题的边界约束条件，并对这些方程进行适当修正。 5. 有限元方程求解 应用有限元法求解机械结构应力类问题时，根据未知量和分析 有三种基本解法： 材料成形中的非线性问题 1.材料非线性 材料本构方程非线性 弹塑性、刚弹性、刚黏塑性、黏弹塑性 2.几何非线性 3.边界非线性 2.2 有限差分法基础 一种直接将微分问题转变成代数问题的近似数值解法。 基本思想 数值微分法 是把连续的定解区域划分成差分网格，用有限个节点代替原连续求解域。 把原方程和定解条件中的微商用差商来近似 把原微分方程和定解条件近似地用代数方程组代替，即有限差分方程 差分网格通常为矩形在边界不规则或者形状复杂时精度降低 差分概念 自变量x的解析函数 y =f (x)，则有： dx,dy——自变量和函数的微分 ——函数对自变量的一阶导数 ——函数对自变量的一阶差商 差分方向 向前差分 向后差分 中心差分 差商的截断误差 将函数f (x+Δx)按Taylor级数展开 向前 向后 中心  二阶中心差商 通常采用向前差商的向后差商 截断误差与(Δx)2 同一数量级 一阶向前差商 一阶向后差商 一阶计算精度 一阶中心差商 二阶中心差商 二阶计算精度 从而可导出其它的差分公式如下： 边界元法简介 边界元法（boundary element method） 一种结合有限元法和边界积分法发展起来的一种新数值方法 只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。 适用于应力（薄板）、流体力学、声场、电磁场等问题 边界元法基本思想 以微分控制方程的基本解为权函数，利用加权余量法将区域积分转化为边界积分，并结合求解域边界的离散，构建基于边界单元的代数方程组，然后进行计算求解 以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界元插值离散，化为代数方程组求解 降低了问题的维数，从而显著降低了自由度数 边界的离散比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组 加权余量法简介 一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边