2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(11).doc

2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(11) 一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．函数的最大值为 。 2．已知、分别是等差数列与的前项的和，且（，2，…），则 。 3．若函数在区间上为增函数，则的取值范围是 。 4．如图，在四面体中，已知，是边长为2的正三角形。则当二面角的正切值为时，四面体的体积 。 5．已知定义在上的函数满足：（1）；（2）当时，；（3）对任意的实数、均有。则 。 6．已知实数，满足条件，则的最大值为 。 7．已知正整数，，满足条件，且，则的最大值为 。 8．有5个乒乓球，其中有3个是新球，2个是旧球（即至少用过一次的球）。每次比赛，都拿其中的2个球用，用完后全部放回。设第二次比赛时取到新球的个数为，则的数学期望 。 9．对正整数，设是关于的方程的实数根，记（，3，…）（符号表示不超过的最大整数）。则 。 10．在平面直角坐标系中，已知点集，则以集合中的点为顶点且位置不同的正方形的个数为 。 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．已知、分别是椭圆：的左、右焦点，点、在椭圆上。若，且，求的值。 12．已知二次函数（），其图象过点，并与直线有公共点。求证：； 13．如图，设锐角的外接圆为圆，过点、作圆的两条切线，相交于点。连结交于点，点、分别在边、上，使得，。求证：（1）；（2）。 14．已知（为自然对数的底数）。（1）求证：恒成立； （2）求证：对一切正整数均成立。 15．已知，，，…，是平面内凸三十五边形的35个顶点，且，，，…，中任何两点之间的距离不小于。求证：从这35个点中可以选出5个点，使得这5个点中任意两点之间的距离不小于3。 2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟11参考答案 1． 【解答】 。∴ 时，取最大值。 2． 【解答】∵ 与为等差数列，， ∴ 。 3． 【解答】设。由在区间上为增函数知， 当时，在区间上为减函数，且，因此，，不存在。 当时，在区间上为增函数，且，因此，，。 所以，的取值范围为。 4．【解答】由知，，。 如图，取中点，则由是边长为2的正三角形知，，，且。 作于，连结，则。 所以，二面角的平面角。 设，则， 由知，，解得。 故，四面体的体积。 5． 【解答】在条件等式（3）中，令，，得， 结合，，解得。 6． 【解答】。 设，，，则。 由实数，满足条件知，点在椭圆上，且点为椭圆的右焦点，点在椭圆内。 设椭圆的左焦点为，则，当且仅当点是射线与椭圆的交点时，等号成立（其中为椭圆的长轴长）。 所以，的最大值为。 7．【解答】由，，为正整数，，以及知，，，均为小于14的正整数。另一方面，将展开，得 ， 即。 所以，能被7整除。结合7为质数，以及，，为小于14的正整数知，，，中至少有1个数为7。不妨设，则条件等式化为。 所以，，因此。此时，的最大值为。 所以，的最大值为。 8． 【解答】假设第一次比赛时取到新球的个数为。 则，，。 ， ， 。 所以，。 9．【解答】设，则易知当为正整数时，为增函数。 ∵ 时，，且。 ∴ 时，方程有唯一实根，且。 ∴ ，。 ∴ 。 10．【解答】易知满足条件的正方形只有两类：其边所在的直线与坐标轴垂直，称为“标准正方形”；和其边所在的直线与坐标轴不垂直，称为“斜正方形”。 （1）在“标准正方形”中，边长为1的的正方形有个；边长为2的正方形有个；边长为3的正方形有个；边长为4的正方形有个，边长为5的正方形有个。（一般地，边长为的正方形有个） （2）由于以点集中的点为顶点的“斜正方形”都是某个“标准正方形”的内接正方形，因此，只需考虑“标准正方形”的内接正方形的个数。 显然，边长为1的“标准正方形”没有内接正方形；边长2的“标准正方形”有1个内接正方形；边长3的“标准正方形”有2个内接正方形；边长4的“标准正方形”有3个内接正方形；边长5的“标准正方形”有4个内接正方形。（一般地，边长为的正方形有个内接正方形） 综合（1）、（2）知，符合条件的正方形有 （个）。 11． 【解答】由知，、、三点共线。 若直线轴，则，不符合要求。 若直线斜率存在，设为，则直线的方程为。 由，得 ………… ①。 ∵ ①的判别式， ∴ ，。 由可得，。 将代入方程①，得，解得。 又，，，。 ∴ 或。 12． 【解答】由