第6次-数值积分-插值型积分-误差-收敛性-稳定性.ppt

解：该插值求积公式具有3个节点，因此至少有2次代数精度。 例5 已知插值求积公式（按照插值公式构造的系数） 将f(x)=x3代入公式两端，左端=右端=(b4-a4)/4, 公式两端严格相等， 再代入f(x)=x4两端不相等， 故该求积公式具有3次代数精度。 讨论该公式的代数精度。 Simpson 公式 是否有3次代数精度呢？ 的代数精度。 例6 考察求积公式 评论：三个节点不一定具有2次代数精度，因为不是插值型的！！！ 解：可验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等, 再将f(x)=x2代入公式，经过计算，左端=2/3， 右端=1。 所以该求积公式具有 1 次代数精度. 同学课堂完成。 例7 给定求积公式如下： 试证此求积公式是插值型的求积公式 证明: 从而求积公式至少有2次代数精度，由定理4.1，此求积公式是插值型求积公式。可以验证，该公式有3次代数精度。 上的插值基函数、和插值求积公式如下： 另外一种验证方法-具体地计算出以下插值型求积公式中的积分系数 A, B, C. 实际上，在例1中，已经求出了在插值节点 这和题目中所给定的求积公式相同，因此题目中的积分公式是插值型求积公式。 这个方法比较复杂。 例8 求证 不是插值型的。同学们课堂自己证明。 证明: 设 x0 = -1, x1 =0, x2 =1 从而求积公式拥有3个节点，但是仅有1次代数精度，由定理4.1，此求积公式不是插值型求积公式。 例9 给定求积公式 试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度 解：令求积公式对f(x)=1, x, x2准确成立，则有 解之得: 其代数精度至少为2, 将f(x)=x3代入求积公式两端相等； 将f(x)=x4代入求积公式两端不相等； 所以其代数精度为3次 构造插值求积公式有如下特点： 1）复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分 2）求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak的值 3）n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度 4）求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性 (1) 在积分区间[a,b]上选取节点xk (3) 利用f(x)=1, x, …, xn,…验算代数精度 构造插值求积公式的步骤： (2) 求出f(xk)及利用 或解关于Ak的线性方程组求出Ak，得到: 例10 对 , 构造至少有3次代数精度的求积 公式。同学自己完成。 解: 3次代数精度需4个节点, 在[0, 3]上取0, 1, 2, 3四个节点构造求积公式 确定求积系数Ak(k=0, 1, 2, 3), 利用求积系数公式 因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有3次代数精度。 求积公式的收敛性和稳定性 4.1.5、求积公式的收敛性和稳定性 一般地，求积公式 通常称为机械求积公式。 其中 插值型求积公式 使用了插值基函数的定积分作为系数。 若f(x)在[a, b]上有n+1阶连续导数，则插值型求积公式的余项的表达式为： 例1 使用以下的插值型求积公式， 计算 并且估计误差。 解: 误差估计: 用牛顿-莱布尼茨公式计算 本题近似计算结果=2.3619 求积公式的收敛性定义 定义2 在求积公式(1.3)中，若 其中 ，则称求积公式(1.3) 是收敛的。 求积公式的稳定性定义 则称公式（1.3）是稳定的。 不会由f(xk )的微小误差而导致积分值产生大的变化 定理2 若求积公式（1.3）中的系数Ak0, k = 0, 1,…,n，则求积公式是稳定的。 证明： 按照稳定性定义，求积公式是稳定的。 Home 作业 习题 1(1) (3), 2(1) * This is a placeholder for the demo. It reminds you when to switch over to the demo and it tells the audience why you are going to show them what you are showing both before the demo and when you switch back to the slid