第7次-牛顿-柯特斯求积公式和复合求积公式.ppt

因为 在[a, b]上连续，根据连续函数的介值定理知，存在 ，使 因此，注意到h=(b-a)/n，得余项 意义：当h?0的时候，复合梯形求积公式收敛于f(x)在[a, b]上的定积分值，收敛阶为O(h2 )。可以调整h的值，使得计算的结果满足预先定义的精度。 有界 复合梯形求积算法实现 （1）复合梯形公式计算步骤 ① 确定步长h=(b-a)/N ( N 为等分数 ) ② 对k=1, 2,…,N，计算T = T + f(a +kh) ③ T = h?f(a)+ 2T + f(b)?/2 （2）复合梯形公式的流程图 4.3.2???复合辛卜生公式及其误差 合并xk和xk+1项 将积分区间[a, b]划分为n等分,记子区间 的中点为 ,在每个小区间上应用辛卜生公式，则有 y=f(x) x1 x2 x3 x y x0 类似于复合梯形公式余项的讨论，设 在 [a, b]上连续，则复合辛卜生公式 (4.6) 的求积余项为 ： 得到复合辛卜生公式： (4.6) 复合辛卜生公式的误差 O(h4) 有界 若将每个子区间 4等分: xk xk+1 x 内分点记为: 复合柯特斯公式: 在区间 ，柯特斯求积公式为： 复合柯特斯公式的误差： O(h6) 有界 类似于复合梯形公式余项的讨论，设 在 [a, b]上连续，则复合辛卜生公式 (4.6) 的求积余项为 ： 得复合柯特斯公式: 复合求积公式的余项表明，只要被积函数f(x)所涉及的各阶导数在[a, b]上连续，那么复合梯形公式、复化辛卜生公式与复化柯特斯公式所得近似值的余项和步长的关系依次为 因此当h→0 (即n→∞)时, 都收敛于积分真值，且收敛阶一个比一个高，收敛速度一个比一个快。 复合辛卜生求积算法实现 （1）复合辛卜生公式计算步骤 ① 确定步长h=(b-a)/N,S1=f (a+h/2) , S2=0 ( N 为等分数 ) ②?? 对k=1,2,…,N-1，计算 S1= S1+f (a+kh+h/2) , S2= S2+f (a+kh) ③ S = h ? f (a) +4S1+ 2 S2+ f (b)?/6 （2）复合辛卜生公式流程图 例4.13 依次用n=8的复合梯形公式、n=4的复合辛卜生公式计算定积分 解1:由复合梯形公式计算，将区间[0,1]8等分，即n=8, h=0.125 0 1 （积分准确值I=0.9460831） 解2：由复合辛卜生公式计算，将区间[0,1]4等分，即n=4，h=0.25. 0 1 评：这两种方法计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值比较， 却有六位有效数字。 而利用复化辛卜生法计算结果 积分准确值：I=0.9460831 利用复合梯形法计算结果 只有两位有效数字。 例4.14 用复合梯形公式计算定积分 解: , ,则,又区间长度b-a=1，对 复合梯形公式有余项 即 , n ≥ 213，取n=213，即将区间[0,1]分为213等份时，用复合梯形公式计算误差不超过 问区间[0,1]应分多少等份，才能使误差不超过 Home 同学们 计算 作业 习题 p135, 6, Home 作业 习题 3，4 Home * 第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式 计算方法 (Numerical Analysis) 牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 例题 复合求积公式 变步长复合求积法 牛顿—柯特斯(Newton-Cotes) 求积公式（等距节点） 4.2 牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 是插值基函数。有关系式 定义：在插值求积公式 中,当所取节点 时称为牛顿-柯特斯公式。其中： 是等距 利用等步长的特点计算积分系数Ak 求积节点为： 因此： 将积分区间[a, b] 划分为n等分, 步长 a=x0 x2 xk x1 xi xn=