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第二章 网络的拓扑分析 §2.1 二端口网络参数的代数公式 电路节点方程： ， 令 电路方程的解答 端口方程 分成三类： §2.2不含多端元件网络的端口分析 一 比耐-柯西(Binet-Cauchy)定理：设和分别为和阶矩阵,则 大子式：最高阶子行列式 设 ，，则 二 关于关联矩阵的几个定理 1 任何一个树的关联矩阵的行列式都等于。 注：新增的节点只有一个支路与其相连 2 关联矩阵或的秩为n-1，即 3 连通图G的关联矩阵里对应回路的列是线性不独立的。 解释：回路中节点数等于支路数(m)，非零行＝m，每列只有两个非零元素，+1和-1，因此rank()m，列线性不独立。 4 连通图G的关联矩阵A的一个(n-1)×(n-1)子矩阵是非奇异的充要条件是此子矩阵的列对应G的一个树，子矩阵的行列式为±1。 充分性：若非奇异→列线性独立→不含回路，支路数为n-1→树； 必要性：若为树→子矩阵行列式为±1→非奇异。 5 连通图G的树的个数为det(AAT)。 证明： 三 △n的计算 1 AT的非零大子式＝±1（因为它对应树）。 2 AYe的对应大子式＝(±1)×相应树支导纳的乘积（因为Ye是对角矩阵）。 说明： （对应树） （对应树） （含回路） 所以 例 验证： 四 “2－树”的定义：图G的一个“2－树”是一对包含G的全部节点，但无任何回路的不连通子图，但每个子图是连通的。 举例： 2－树的表示：“”j,k表示分属两部分的节点号。 五 △jj (对角元素的代数余因子)的计算 分析： 举例： 对G1的全部树补充节点④后，成为G的全部2－树(1,4)。 所以 其中表示参考点。 六 的计算 的非零大子式＝±1 [对应j与参考点相连后的图的树，即2－树()] 的非零大子式＝±1×[i与参考点相连后的树支导纳之积，即2－树()树支导纳之积] 以上二式不一定取相同符号，可以证明乘积后的符号为； 两个大子式同时非零对求和才有作用。所以得 七 网络参数的拓扑公式 引入记号：、 一端口输入阻抗： 二端口开路阻抗矩阵 (1) 与存在相同2－树（因为下标只包含3个节点号），对应项相互抵消。 (2)利用关系。 最后得 例题：求二端口网络Z参数矩阵。 求V。全部树如下： (2) 求。2－树(1,1)如下 (3)求。2－树如下： 求 不含2－树，所以 。 2－树为 计算结果 练习： 1用网络的拓扑公式求图1电路的等效电阻。 2用网络的拓扑公式求图2电路的开路阻抗矩阵Z。 答案： 1 2 , , , §2.3 不定导纳矩阵 一 不定导纳矩阵的定义 称为不定节点导纳矩阵。 二 不定导纳矩阵的形成 1 利用公式 举例： 二 直接列写 不含多端元件时的列写规则 含多端元件时的列写规则 (a) 列出不含多端元件时的不定导纳矩阵，记作。 (b) 将所有多端元件用VCCS来等效，或将方程表达成电压是电流的函数。 (c) 考虑VCCS对不定导纳矩阵的影响。 (用例2进一步解释) 三 不定导纳矩阵的性质 1 不定导纳矩阵的任一行元素之和或任一列元素之和都为零(零和特性)，即 (1) ； (2) 证明： (1) 由得 (2) 由 及KCL得： 2 不定导纳矩阵中所有一阶余因式都相等。以例2的不定导纳矩阵为例。 证明如下： 按第j行展开 由零和性质，，将其代入上式得： 不论取何值，上式皆成立，故有 上式说明不定导纳矩阵行列式任意行的所有一阶代数余子式相等。同理，可以证得任一列上的所有一阶代数余子式相等。故有性质2。 3 划掉不定导纳矩阵中的第k行第k列，得到以k为参考点的定导纳矩阵。 练习：列出下图电路的不定导纳矩阵 答案： §2.4 含多端元件网络的拓扑分析 1 伴随有向图的定义 不定导纳矩阵的伴随有向图是具有n个节点的加权有向图，节点编号与网络N一一对应，如果则从节点i到节点j之间有一条有向支路，该支路的权等于。 注意：1 权的符号； 2 对角元素不直接对应。 2 有向树的定义 有向图Gd的一个子图，当且仅当满足下列两个条件时称为Gd中以r为参考点(或根)的有向树，用Tr表示： Tr的每个支路对应的无向图仍是树； Tr中参考点r的射出边度数(个数)为零，其余节点射出边度数为1。 有向树的例子： 非有向树的例子： 3 定理 的所有一阶代数余子式(余因式)由下式给出： 在前例中有 4 有向2－树的定义 有向图Gd的一个子图，当且仅当满足下列两个条件时，称为Gd