(人教A版)2017学年数学选修1-1全册配套课件：3.4生活中的优化问题举例精讲课件.ppt

自我纠错　用导数解决生活中的优化问题 【典例】已知A,B两地相距200千米,一只船从A地逆水到B地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v千米/时(8v≤v0)(v0为船在静水中的最大速度).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比.当v=12千米/时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船在静水中的速度v应为多少? 【失误案例】 分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是未将v与v0进行比较大小而直接得出了结论.正确解答过程如下: 【解析】设每小时燃料费为y1元,比例系数为k(k0), 则y1=kv2,当v=12时,y1=720, 所以720=k·122,得k=5, 设全程燃料费为y元,由题意得 令y′=0,所以v=16. 所以当v0≥16时,v=16时全程燃料费最省, 当v016时,即v∈(8,v0]时,y′0,即y在(8,v0]上为减函数,所以当v=v0时,ymin= . 综上,当v0≥16时,v=16千米/时,全程燃料费最省,为32000元; 当v016时,则v=v0时全程燃料费最省,为 元. 【解题指南】1.典例1中的表面积包括哪几部分? 提示:包括两个底的面积和三个侧面积. 2.(1)该组合体是哪些简单几何体构成的? 提示:该组合体是由两个半球和一个圆柱体构成的. (2)怎样表示该容器的建造费? 提示:两个半球合成一个球的表面积乘以造价+圆柱的侧面积乘以造价. 【解析】1.选C.设底面边长为x,直棱柱的高为h, 则V= x2h,所以h= , 所以S表= 所以S′表= 令S′表=0,得x= . 当0x 时,S′表0,当x 时,S′表0, 因此当底面边长为 时,其表面积最小. 2.(1)因为容器的体积为 立方米, 所以 +πr2l= π,解得 所以圆柱的侧面积为2πrl= 两端两个半球的表面积之和为4πr2, 所以y= 又 所以定义域为 (2)因为y′=- +16πr= 所以令y′0得2r ;令y′0得0r2, 所以当r=2时,该容器的建造费用最小为96π千元, 此时l= . 【延伸探究】 1.典例2中问题改为试求该容器表面积的最小值. 【解析】因为容器的体积为 立方米, 所以 解得 所以圆柱的侧面积为2πrl= 两端两个半球的表面积之和为4πr2, 故该容器的表面积y= 则y′= 令y′=0,解得r= 易知当r= 时,表面积取得最小值,ymin=16π· 2.典例2中若由于场地的限制,该容器的半径要限制在 范围内,求容器建造费用的最小值. 【解析】因为y′= 所以令y′0得2r ;令y′0得0r2, 故当r∈ 时,函数单调递减, 故当r= 时,ymin= . 【方法技巧】关于立体几何中的最值问题 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基础上解决与实际相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程. 【补偿训练】在边长为60cm的正方形铁片的四个角上 截去四个相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成 一个无盖的方底箱子,箱底边长是多少时,箱子的容积 最大? 【解题指南】根据所给几何体的体积公式建模,利用导数求最值. 【解析】设箱高为xcm,则箱底边长为(60-2x)cm,则得箱子的容积V是x的函数, V(x)=(60-2x)2·x=4x3-240x2+3600x(0x30), 所以V′(x)=12x2-480x+3600, 令V′(x)=0,得x=10或x=30(舍去). 当0x10时,V′(x)0,当10x30时,V′(x)0. 所以当x=10时,V(x)取极大值,这个极大值就是V(x)的最大值,此时箱底边长为40cm. 答:当箱底边长为40cm时,箱子的容积最大. 类型三　实际生活中的最值问题 角度1:实际生活中的最大值问题 【典例】(2016·厦门高二检测)某工厂生产某种产品, 已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨) 之间的关系为p=24200- x2,且生产x吨产品的成本为 (50000+200x)元.问每月生产多少吨产品才能使利润达 到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本). 【解题探究】本题中的月收入是什么? 提示:月收入=月产量×单价=px. 【解析】设每月生产x吨产品时的利润为 由f′(x)=- x2+24000=0, 解得x1=200,x