(成才之路)2014-2015学年高中数学1.3中国古代数学中的算法案例课件新人教B版必修.ppt

我国古代数学有着辉煌的成就，如祖冲之、刘徽、秦九韶等，他们对我国古代数学的发展作出了很大贡献，本节我们学习计算求两个正整数的最大公约数和求多项式值的简便算法——更相减损之术和秦九韶算法. 1．求两个正整数最大公约数的算法 (1)更相减损之术(等值算法) 用两数中较大的数减去较小的数，再用______和__________构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生________________，这个数就是最大公约数． (2)用“等值算法”求最大公约数的程序 2．割圆术 用圆内接正多边形面积逐渐逼近__________的算法是计算圆周率的一种方法． (2)计算P(x0)的方法 先计算________________，然后__________逐层计算，直到____________，然后加上________． 1．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是(　　) A．秦九韶算法与直接计算相比，大大节省乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单 B．秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度 C．秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度 D．秦九韶算法避免对自变量x单独做幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度 [答案]　C 2．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是________π的实际值．(　　) A．大于等于　　　 B．小于等于 C．等于 D．小于 [答案]　D [解析]　用割圆术法求出的是π的不足近似值，故选D. 3．用更相减损之术求88与24的最大公约数为(　　) A．2 B．7 C．8 D．12 [答案]　C [解析]　(88,24)→(64,24)→(40,24)→(24,16)→(16,8)→ (8,8)，故88与24的最大公约数为8. 4．三个数72,120,168的最大公约数是________． [答案]　24 [解析]　(72,120,168)→(72,120,168－120)→(72,120,48)→ (72,120－72,48)→(72,48,48)→ (72－48,48,48)→ (24,48,48)→ (24,48－24,48)→(24,24,48)→(24,24,48－24)→(24,24,24)． 5．用秦九韶算法计算f(x)＝9x6＋3x5＋4x4＋6x3＋x2＋8x＋1，当x＝3时的值，需要进行________次乘法和________次加法运算． [答案]　6　6 [解析]　∵f(x)＝(((((9x＋3)x＋4)x＋6)x＋1)x＋8)x＋1， ∴乘法及加法运算都是6次． 6．已知f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1，求f(3)的值． [解析]　f(x)＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1， v1＝1×3＋0＝3， v2＝3×3＋1＝10， v3＝10×3＋1＝31， v4＝31×3＋1＝94， v5＝94×3＋1＝283， ∴f(3)＝((((3＋0)×3＋1)×3＋1)×3＋1)×3＋1＝283. [解析]　80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. ∴80和36的最大公约数是4. [点评]　当大数减小数的差等于小数时停止减法，较小的数就是两数的最大公约数． 用更相减损之术分别求下列两组数的最大公约数： (1)78与36； (2)1 515与600. [解析]　(1)(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18) →(6,12)→(6,6)，故78与36的最大公约数为6. (2)1 515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285,315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15，故1 515与600的最大公约数是15. [解析]　546＝1×429＋117， 429＝3×117＋78， 117＝1×78＋39， 78＝2×39， 故546与429的最大公约数为39. [点评]　用辗转相除法求最大公约数步骤较少，而更相减损术虽然步骤较长，但运算简单． 用辗转相除法求288和123的最大公约数． [解析]　288＝2×123＋42， 123＝2×42＋39， 42＝1×39＋3， 39＝13×3， 故3就是288和123的最大公约数. [解析]　将f(x)写为： f(x)＝x5＋0×x4＋0.11x3＋0×x2－0.15x－0.04. 由秦九韶算法的