数列的极限_1.ppt

柯西(1789 – 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 三、数列的极限 第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限 Section 1.1, SCU 数学语言描述: 一 、数列极限的定义 引例. 设有半径为 r 的圆 , 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知 当 n 无限增大时, 无限逼近 S, 当 n N 时, 用其内接正 n 边形的面积 总有 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 刘徽割圆术 数学语言描述: 当 n N 时, 总有 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 播放 定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛 发散 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 或 则称该数列 的极限为 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果数列 当n无限增大时，各项值无限增大，记 或 当 n N 时, 总有 不存在！ ★ ★ 例1. 已知 证明数列 的极限为1. 证: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 已知 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2’. 已知 证明 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ……… 例3. 设 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 按极限定义无法证明，但可用夹逼法证明 （自证） 二、收敛数列的性质 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 证明数列 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 则存在 N , 但因 交替取值 1 与－1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 虽有界但不收敛 . 有 数列 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 有界 无界 Definition. 对数列 ， 若存在 M0，使得对一切 否则，称之无界。 3. 收敛数列的保号性. 若 且 时, 有 证: 对 a 0 , 取 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似结论书P6, SCU ********************* 4*. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 机动