有理函数的不定积分_1.ppt

§7.3 有理函数的不定积分 一、 有理函数的部分分式分解 有理函数的定义 有理函数 ：是指两个多项式的商表示的函数 其一般形式为: 其中 及 为常数，且 ， 。 有理函数的分类（次数） 1、 nm，时称为有理真分式 即：如果分子多项式的次数小于分母多项式的次数，称分式为有理真分式 。 2、 n≥m，时称为有理假分式 即：如果分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，称分式为有理假分式。 例如 举例 例如： 求有理函数不定积分的关键 假分式=多项式+真分式 因为多项式的不定积分易求，所以求有理数不定积分的函关键在于求有理真分式的不定积分. 因此，我们仅讨论有理真分式的积分 . 先介绍代数学中两个定理： 多项式的因式分解定理 分项分式定理（部分分式展开定理） 多项式的因式分解定理 任何次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数一次和二次不可约因式的乘积： 其中 都是正整数 分项分式定理 有理真分式必定可以表示成若干个简单部分分式之和，即 例如 因此任意有理函数的积分问题就都归结为求以下两种类型不定积分 1、 2、 求常数的方法----待定系数法 方法一:(比较系数法)把(*)式等号右端所有分式通分相加, 得 由于(*)式等号两端的分母都是Q(x)，所以通分后所得分式的分子与原分子F(x) 应该相等，即　 或F(x) ≡H(x) 部分分式分解具体步骤简述如下: 1. 对分母 Q(x) 在实数系内作标准分解: 第二步 2. 根据分母各个因式结构分别写出与之相应的待定部分分式. 第三步： 待定系数的确定： （1）解线性方程组法(比较系数法)； 把所有部分分式加起来,通分，根据两个多项式相等时同次项系数必定相等的原则, 得到待定系数所满足的线性方程组, 求解方程，由此确定上述部分分式中的待定系数 （2）特殊值法(赋值法)； 例题讲解 例1 将 分成分项分式 例2 将 分成分项分式 例3 将 分成分项分式 于是 练习 将下列真分式分解为部分分式 : 并将A、B 值代入 有理函数的不定积分 根据分项分式定理，任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形式的不定积分之和： 下面分别求这两类不定积分： 有理真分式的递推公式 随堂练习 小结： 1、有理函数的原函数一定是初等函数 有理函数的不定积分总能“积”出来，即有理函数的不定积分总能用初等函数表示出来，有理函数存在初等函数的原函数(不定积分).这是有理函数的 一个理想的性质. 如果求一个函数的不定积分，只要选择适当的换元，将被积函数转化为有理函数，那么这个不定积分总能“积”出来，这种方法也叫“有理化法” 2、求有理函数不定积分的步骤： (1)、若被积函数是有理假分式，则通过多项式除法，把它化成 多项式+有理真分式； (2)、用部分分式展开定理把有理真分式化成若干个简单分式之和， 用比较系数法或赋值法求出各待定系数; (3)、求出各个简单分式的不定积分， 则有理函数的不定积分=多项式的不定积分（若是有理假分式， 则必 有此项积分）+各个简单分式的不定积分。 由此可知这两类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 例题 例4 求 解： 例5 求 例6 求 例7 求 * * 假分式=多项式+真分式 利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式