2018版高中数学人教b版必修三1．3中国古代数学中的算法案例.ppt

预习导学 课堂讲义 当堂检测 1.3　中国古代数学中的算法案例 高中数学·必修3·人教B版 1.3　中国古代数学中的算法案例 [学习目标] 1．了解割圆术中无限逼近的数学思想． 2．理解更相减损术的含义，了解其执行过程． 3．掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质． 预习导学 [知识链接] 1．20和30的最大公约数为 . 2．已知函数f(x)＝x2＋2x－1，计算f(1)的值时用了 次乘法和 次加法运算；当函数变为f(x)＝(x＋2)x－1，求f(1)时，用了 次乘法运算和 次加法运算． 预习导学 10 2 2 1 2 [预习导引] 1．更相减损术 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 ．若是，用 ；若不是，执行 ． 第二步，以 的数减去 的数，接着把所得的差与 的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数． 预习导学 偶数 2约简 第二步 较大 较小 较小 相等 2．割圆术的算法思想 刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值．用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”． 预习导学 3．秦九韶算法 把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式： (…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0， 求多项式的值时，首先计算 一次多项式的值，即v1＝ ，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2＝ ， v3＝ ， 预习导学 最内层括号内 v0x＋an－1 v1x＋an－2 v2x＋an－3 … vn＝ . 这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求 的值. 预习导学 vn－1x＋a0 n个一次多项式 要点一　求两个正整数的最大公约数 例1　用更相减损术求261和319的最大公约数． 解　319－261＝58， 261－58＝203， 203－58＝145， 145－58＝87， 87－58＝29， 58－29＝29， 课堂讲义 29－29＝0， 所以319与261的最大公约数是29. 规律方法　利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简．也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果． 课堂讲义 跟踪演练1　用更相减损术求80和36的最大公约数． 解　80÷2＝40　36÷2＝18 40÷2＝20　18÷2＝9 20－9＝11　11－9＝2 9－2＝7　7－2＝5 5－2＝3　3－2＝1 2－1＝1　1×2×2＝4 所以80与36的最大公约数为4. 课堂讲义 要点二　秦九韶算法 例2　已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值． 解　将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8， 由内向外依次计算一次多项式当x＝5时的值： v0＝4； v1＝4×5＋2＝22； 课堂讲义 v2＝22×5＋3.5＝113.5； v3＝113.5×5－2.6＝564.9； v4＝564.9×5＋1.7＝2 826.2； v5＝2 826.2×5－0.8＝14 130.2. ∴当x＝5时，多项式的值等于14 130.2. 课堂讲义 规律方法　1.先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝5代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算，则可提高运算效率． 2．注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·xn. 课堂讲义 跟踪演练2　用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为(　　) A．5,4 B．5,5 C．4,4 D．4,5 答案　D 解析　n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D. 课堂讲义 1．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是(　　) A．准确值 B．近似值 C．循环小数 D．有理数 答案　B 当堂检测 2．自然数8 251和6 105的最大公约数为(　　) A．37 B．23 C．47 D．1