第4章 平面问题的有限元法1离散化PPT课件.ppt

第四章 平面问题的有限单元法;第四章 平面问题的有限单元法;第一节 有限元法基本思想和解题步骤;x;根据题目的要求，可选择适当的单元把结构离散化。对于平面问题可用三角形单元，四边形单元等。 ; 最后利用弹性体的虚功方程建立单元节点力阵与节点位移 列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程式： 　　; 考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，（4-6）式就变成以节点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可求出节点位移。; 求解出整体结构的位移和应力后，可有选择地整理输出某些关键点的位移值和应力值，特别要输出结构的变形图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及整体结构的弯矩、剪力图等等。;三、结构的离散化;②一般首选三角形单元或等参元。三角形单元和等参元适用于任意边界，当边界为曲线时三角形单元用相应的直线近似代替曲线作为三角形单元的一个边。;④当物体是由不同的材料组成时，厚度不同或材料不同的部分，也应该划分为不同的单元。;2、单元的划分原则;②单元的大小，可根据部位不同而有所不同。 ;③单元各边的长度（或三个顶角）不要相差太大，否则会在计算中出现过大的误差，影响求解的精度。;３.对称性的利用;划分单元后，得到有限元的计算模型，按照分析杆件结构同样的思路去分析平面问题，但在分析中要解决两个问题： 1．有限元模型中各单元之间只以节点相连，为了与真实问题一致，应保证受力变形过程中单元之间在边界上“不开裂”也不互相“挤入”，即：应该保证在变形过程中，相邻单元的位移在交界边上是相同的、连续的。 2．单元刚度矩阵的确定。平面问题的单元刚度矩阵本身就是一个连续体问题，不能像杆单元一样直接通过计算得到。;第二节 三角形常应变单元;? ? 图4-1 弹性体和有限元计算模型;? ? 图4-2 平面三角形单元;二、位移; 从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接;起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法的绝妙之处。;(c);? 图4-2 平面三角形单元;其中; 式中I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形函数。矩阵[N]叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍为一条直线，即只要两单元在公共节点处保持位移相等。则公共边线变形后仍为密合。 ;三、应变;可简写成;四、应力;其中[S]叫做应力矩阵，若写成分块形式，有;;;作 业;