第四五章 随机变量的数字特征.ppt

第四章 随机变量的数字特征 随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性，但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件容易的事情．在许多情况下，并不需要求出随机变量的分布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征． 本章将讨论随机变量的数学期望、方差、矩以及相关系数，它们在概率论与数理统计中起着重要的作用． 第一节 数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 例1 一台机床加工某种零件，已知它加工出优质品、合格品和废品的概率依次为0.2、0.7和0.1．如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利0.40元和0.20元；如果加工出一件废品则要损失0.10元．问这台机床每加工出一个零件，平均可获利多少元？ 解 以 X 表示加工出一个零件所获得的利润，则 X 的分布律为 X －0.10 0.20 0.40 Y 0.1 0.7 0.2 现假设该机床加工 个零件，其中废品 件，合格品 件，优质品件，这里 . 则这 个零件可以获得总利润为 ， 平均每个零件可获利为 . 其中 ， 和 分别是事件 、 和 出现的频率．当 很大时， ， 和 分别接近于0.1、0.7和0.2，于是可以期望该机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为 （元） 上述结果称为随机变量 X 的数学期望． 定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为 则称 （要求此级数绝对收敛） （1） 为 X 的数学期望(或均值)． 例2 设 X 服从参数为 p 的( 0－1 )分布，求 X 的数学期望． 解 X 的分布律为 X 0 1 P 1 － p p . 例3 设 ，求 ． 解 X 的分布律为 例4 设 ，求 ． 解 例5 已知10件产品中有2件次品，求任意取3件中次品数的数学期望． 解 以 X 表示任取3件中次品的个数，可取值为0, 1, 2，其分布律为 因此 . 二、连续型随机变量的数学期望 例6 设 X 在 [ a,b ]上服从均匀分布，求 E ( X )． 解 X 的概率密度为 . 例7 设 X 服从参数为 的指数分布，求E ( X ) ． 定义2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) , 则称 （要求此积分绝对收敛) 为X 的