状态空间表达式 PPT课件.ppt

* * 第1章 控制系统数学模型 本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控制系统的数学模型。 本章内容为： 1、状态空间表达式 2、由微分方程求出系统状态空间表达式 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学模型 5、线性变换 6、组合系统的数学描述 1.1 状态空间表达式 1.1.1 状态、状态变量和状态空间 状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。 状态变量——确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻 的值以及 的系统输入，便能够完整地确定系统在任意时刻 的状态。（状态变量的选择可以不同） ≥ 状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。 例：如下图所示电路， 为输入量， 为输出量。 建立方程： 初始条件： 和 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量 1.1.2 状态空间表达式 前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式： 该方程描述了电路的状态变量和输入量之间的关系，称为该电路的状态方程，这是一个矩阵微分方程。 如果将电容上的电压作为电路的输出量，则该方程是联系输出量和状态变量关系的方程，称为该电路的输出方程或观测方程。这是一个矩阵代数方程。 系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。 设： 则可以写成状态空间表达式： 推广到一般形式： 如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。 如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变系统。 严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程和输出方程表示。如果不显含 t，则称为非线性定常系统。 1.1.3 状态变量的选取 （1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定 （2）状态变量选取的非惟一性 （3）系统状态变量的数目是惟一的 在前面的例子中，如果重新选择状态变量 则其状态方程为 输出方程为： 1.1.4 状态空间表达式建立的举例 例1-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消） 根据牛顿第二定律 即： 选择状态变量 则： 机械系统的系统方程为 该系统的状态图如下 例1-2 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式 电枢回路的电压方程为 系统运动方程式为 （式中， 为电动势常数； 为转矩常数； 为折合到电动机轴上的转动惯量； 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。） 可选择电枢电流 和角速度 为状态变量，电动机的电枢电压 为输入量，角速度 为输出量。 状态空间表达式 状态图如下： 例1-3 建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。 单级倒立摆系统是许多重要的宇宙空间应用的一个简单模型。 在水平方向，应用牛顿第二定律： 在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律：