柯西中值定理主要内容、相关证明及相关例题.pptVIP

返回 后页 前页 §2 柯西中值定理和 不定式极限 一、柯西中值定理 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一 定式极限的问题. 般的中值定理，本节用它来解决求不 二、不定式极限 返回 定理6.5 (柯西中值定理) 设函数 , 在区间 上满足: (i) f(x) , g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续; (iii) (iv) 则在开区间 内必定 (至少) 存在一点 , 使得 一、柯西中值定理 (ii) f(x) , g(x) 在开区间 (a, b) 上可导; 几何意义 首先将 f , g 这两个函数视为以 x 为参数的方程 它在 O- uv 平面上表示一段曲线. 由拉格朗日定理 恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率(见下图): 的几何意义, 存在一点 ( 对应于参数　 ) 的导数 证 作辅助函数 显然, 满足罗尔定理的条件, 所以存在点 使得　　　　 , 即 从而 例1 设函数 f 在区间 [a, b](a 0) 上连续, 在(a, b) 证 设　　　　 , 显然 f (x), g(x) 在 [a, b] 上满足 柯西中值定理的条件,于是存在　　　　, 使得 变形后即得所需的等式. 上可导, 则存在　　　　, 使得 在极限的四则运算中, 往往遇到分子, 分母均为无 二、不定式极限 究这类极限, 这种方法统称为洛必达法则. 称为不定式极限. 现在我们将用柯西中值定理来研 比较复杂，各种结果均会发生. 我们将这类极限统 穷小量 (无穷大量) 的表达式. 这种表达式的极限 定理6.6 则 证 注 根据归结原理 结论同样成立. 例１ 解 例2 解 存在性. 这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的 代换，其目的就是使得计算更简洁些. 例3 解 法则. 但若作适当变换, 在计算上会显得更简洁些. 例4 解 定理6.7 则 证 从而有 另一方面， 上式的右边的第一个因子有界; 第二个因子对固定 这就证明了 的 x 有 注 件要作相应的改变. 例5 解 例6 解 例7 解 (3) 式不成立. 这就说明: 我们再举一例: 例8 解 因为 所以 A = 1. 若错误使用洛必达法则： 这就产生了错误的结果. 这说明: 在使用洛必达法 则前，必须首先要判别它究竟是否是 3. 其他类型的不定式极限 解 但若采用不同的转化方式: 很明显, 这样下去将越来越复杂, 难以求出结果. 例9 解 由于 因此 例10 解 例11 所以，原式 = e0 = 1. 例12 解 例13 解 例14 证 先设 A 0. 因为 根据洛必达法则，有 同样可证 A 0 的情形. 所以由本章第１节例４，得 定理 6.7 中的条件 是可以去掉的, 为什么？ 由上面的讨论，得到 复习思考题