第二章 第十三节 定积分及微积分基本定理.ppt

【解析】 与y=x-2以及y轴所围成的图形为如图所示的阴影部分， 【拓展提升】利用定积分求平面图形面积的四个步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像. (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限. (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和. (4)计算定积分，写出答案. 【提醒】利用定积分求平面图形的面积，一定要找准积分上限、下限及被积函数，当图形的边界不同时，要分情况讨论. 第十三节 定积分与微积分基本定理 1.定积分的定义 一般地，给定一个在区间［a,b］上的 函数y=f(x),其图像如图所示. (1)将［a,b］区间分成n份，分点为： a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b, 第i个小区间为__________,设其长度为Δxi. ［xi-1,xi］ (2)在这个小区间上取一点ξi，设S=____________________________________________ f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi +…+f(ξn)Δxn (3)当小区间的长度趋于__时，S趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数y=f(x)在区间［a,b］上的定积分，记作 ____________,即____________=A. 其中___叫作积分号，__叫作积分的下限，__叫作积分的上限，_____叫作被积函数. ∫ a b f(x) 0 2.定积分的性质 3.微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)=F′(x),则有 f(x)dx=__________，这个式子称为牛顿—莱布尼茨公式.通常称F(x)是f(x)的一个原函数.为了方便，常把F(b)-F(a)记成________,即 ______=F(b)-F(a). F(b)-F(a) 4.定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形的面积 定积分的概念是从曲边梯形的面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定： 思考:用定积分表示上述各图阴影部分的面积 设阴影部分的面积为S. ①S＝ f(x)dx； ②S＝_____________； ③S＝______________________； ④S＝ 统一形式为 S＝ (|f(x)-g(x)|dx； (2)变速直线运动的路程公式 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间［a，b］上的定积分，即 s＝___________. (3)若 f(x)dx＜0，那么由y=f(x)，x=a，x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.( ) (4)若f(x)是偶函数， .( ) (5)若f(x)是奇函数，则 .( ) 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)设函数y=f(x)在区间［a，b］上连续，则 f(x)dx＝ f(t)dt.( ) (2)若函数y=f(x)在区间［a，b］上连续且恒正，则 f(x)dx＞0.(　) 【练习】 (1)(2012·江西高考)计算定积分 _________________. (2)(2013·芜湖模拟) =____________. (3) ，则 为_________. 【互动探究】在本例题(3)中条件不变，求 f(x)dx的值. 【拓展提升】计算定积分的步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值. (5)计算原始定积分的值. 1．已知f(x)为偶函数且 ，则 等于( ) (A)0 (B)4 (C)8 (D)16 【解析】选C. 2．一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t+2，质点做直线运动，则此质点在时间［1,2］内的位移为( ) 【解析】选A. 3.设 则 等于( ) 【解析】选D. 4．由直线 与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( ) (A)