第二章 随机过程的基本概念与分类.ppt

5 维纳过程(Wiener过程)(或Brown运动) s.p.{X(t), t?T }若满足： (1) X(0)=0; (2) X(t)是齐次独立增量过程; (3) ?t 0, X(t)~N(0, ?2t)。 称X(t)为Wiener过程或Brown运动。 若?=1, 则称X(t)为标准Wiener过程。 维纳过程的性质: (1) 维纳过程是一种马氏过程; (2) E(X(t))=0, D[X(t)]=?2t, R(t1, t2)= ?2?min(t1, t2)。 (3) ?t1, t2, ???, tn, 且0=t0t1???tn+?, 有 X(ti)?X(ti-1)~N(0, ?2(ti?ti-1)), i=1,2,???,n (4) X(t), t ? 0为Wiener过程, 则对?t1, t2, ???, tn, 且0=t0t1???tn+?, 有 D[X(ti)]= ?2ti, 1 ? i ? n; R(ti, tj)=E[X(ti)X(tj)]=?2ti, i, j=1,2,???,n, ij 例 铁路工程队每天铺一段长为li的路轨。假设由于生产钢轨的误差，使得每段钢轨与标定的长度l0之差?li=li?l0，i=1,2,???均具有正态分布N(0, ?02), 且彼此相互独立。现考察第n(n=1,2, ???)天时，铺轨的总长度L(n)与标定总长度L0(n)的统计性质。 6 泊松过程(Poisson过程) 考察一个来到某“服务点”要求服务的“顾客流”，顾客到服务点的到达过程就是一个泊松过程(Poisson过程)。 s.p.{X(t), t ? 0}若满足： (1) X(t)?0, X(0)=0, X(t)取整数值; (2) ?0? t1 t2, 有X(t1)? X(t2); (3) ?0? t1 t2, 有X(t2)?X(t1)代表在时间间隔(t1, t2]上事件出现的次数; 称{X(t), t ? 0}为计数过程。 若X(t)还是独立增量过程, 则称{X(t), t ? 0}为独立增量计数过程。 {X(t), t ? 0}是一个计数过程, 且满足 (1) X(0)=0(a.e.); (2) X(t)是独立增量过程; (3) ? t1, t2?T=[0,+?), t1 t2, 增量X(t2)?X(t1)服从参数为?(t2? t1)的Poisson分布, 即 称{X(t), t ? 0}为具有参数为?的Poisson过程。 易见Poisson过程为齐次独立增量过程。 Poisson过程的数学模型: 以电话呼叫为例, N(t)表示[0, t)内到达的呼叫数,若有: (1) 零初值性: N(0)=0; (2) 独立增量性: 在任意两个不相重叠的时间间隔内来到的呼叫次数相互独立; (3) 齐次性: 在[s, t)内来到的呼叫数只与时间间隔长度t?s有关而与起点时间s无关; (4) 普通性: 在充分小的时间间隔内最多只来一次呼叫。即: Stochastic Processes College of Science, Hohai University Stochastic Processes College of Science, Hohai University 第二章 随机过程的 基本概念及分类 ? 引例 例1 用X(t)表示某手机在大年初一早上从8:00开始经过 t 时刻收到的短信数。 例2 顾客来到服务站要求服务，当服务站中的服务员都正在为别的顾客服务时，来到的顾客就要排队等待服务。由于顾客的来到时间一般是随机的，每个顾客所需要的服务时间一般也是随机的，令X(t)表示 t 时刻的队长(服务的顾客加等待的顾客)，Y(t)表示为 t 时刻来到的顾客所需要等待的时间。 例3 用X(t)表示南京下关某处 t 日早上8:00的水位高度。 例4 设质点Q在一直线上移动，每单位时间移动一次，且只能在整数点上移动。用X(t)表示 t 时刻该质点所处的位置。 例5 Vertical Density Profile (VDP) Manufacturers of engineered wood boards, which include particleboard and medium density fiberboard, are very concerned about the density properties of the board because they determine its machinability. The density is measured using a