第五章 线性系统状态变量分析.ppt

2002 的解，称 是系统（5.4-18）的状态转移矩阵。 ● 状态转移矩阵的一般性质 （1）状态转移矩阵 满足微分方程 ● 把 写成 n 个列向量 （2） （3） 并设初值 为 。 称作状态转移矩阵，即 作用于系统时， 矩阵 的各列 构成函数列向量 的向量空 则 上式表明，齐次状态方程在任意初始条件下的解 ， 总是各个列向量 的线性组合。即 间的一组基。 就把系统 时刻的状态 转移到 t 时刻的状态 5.5 用线性离散状态方程分析系统 ● 线性离散状态方程的解法 ● Z传递矩阵 ● Z特征方程 5.5.1 线性离散状态方程的求解 线性离散状态方程就是由高阶的差分方程转化过 来的一阶差分方程组。 ● 迭代法 ● Z变换法 1 迭代法 设线性系统的离散状态空间表达式为 状态量和输入的初始值分别为X(0)、u(0)。 （k=0,1,2,…） 以k=0,1,2, …,代入式（5.5-1）可推得 （5.5-1） （5.5-2） 方程（5.5-2）给出了离散方程状态方程的通解，代 入方程（5.5-1）便可得到输出y(kT). 从方程（5.5-2） 还可以看出系统的状态转移矩阵为 它描述了当 u(kT)=0 时，系统由 t=0 的初始状态X(0) 向任意时刻 t=kT 的状态X(kT)转移的特性。 ！用迭代法接状态方程得不到闭合解析式 （5.5-3） （5.5-4） 例5.5-1 试用Z变换法求如下状态方程的解 设 【解】令k=0,1,2, ···,用迭代式，可得状态方程的解 可见，用迭代法求得上述的解，只能得到数值解，而 不能写成闭合形式。若要写成闭式解，可以先求出 状态转移矩阵 ，然后求得闭式解。 2 Z变换法 对式（5.5-1）两边作Z变换，可推得 （5.5-5） 对式（5.5-3）作Z反变换，可得 （5.5-6） 比较式（5.5-6）和（5.5-3），有 （5.5-7） 输出方程： 上述状态方程的系数矩阵为若当（John）标准型。 其特征是：除主对角线上的元素可取任意值及紧靠主 对角线上的元素可为 1 外，其余元素都为 0 . 的状态方程按前述三种情况求出。 化 ，d是常数， 是有理分式。输出的 4 传递函数分子分母阶次相等 当传递函数 的分子的阶次m等于分母的阶次n时, 拉氏变换为 例5.2-1 系统的传递函数为 ， 求它的动态方程。 【解】 输出的拉氏变换 由式（5.2-1）可写出状态方程 输出方程由 两部分组成 5.3 线性离散系统的离散状态空间表达式 离散系统 连续系统 传递函数矩阵 传递函数 复 域 一阶微分方程组 微分方程 时 域 Z传递函数矩阵 Z传递函数 复 域 一阶差分方程组 差分方程 时 域 多输入-多输出 单输入-单输出 连续系统与离散系统的分析方法之比较 线性离散时间系统的状态空间表达式可表示为 F：n×n维，状态矩阵 G：n×m维，输入矩阵/驱动矩阵 C：p×n维，输出矩阵 D：p×m维，直传矩阵/传输矩阵 5.3.1 由差分方程导出离散状态空间表达式 单输入-单输出离散系统的n阶差分方程 1 m=1. 即控制变量（差分方程的输入函数）不包含 差分项 状态方程： （1）选择状态变量 输出方程 简写成 2 m≠0，即控制变量包含高于一阶的差分 选择状态变量 差分方程 其中待定系数 状态方程 可以求得 . 于是得到 输出方程 例5.2-1 设线性定常差分方程为 试写出状态方程和输出方程。 【解】由已知条件知 ! 由于状态变量的选择不是唯一的，因此状态 方程也不是唯一的。 输出方程 状态方程 5.3.2 由Z传递函数建立离散状态空间表达式 1 直接程序法 G(z)可写成 令 选择状态变量 状态方程 （1）G(z) 具有不同的极点 . 输出方程 2 分式展开法 式中 令 则有 及 设 为 r 重极点. （2）G(z)具有多重极点 式中 状态方程与输出方程分别为 初始条件