第五章1(定积分的概念及性质).ppt

在上一节我们已经看到，直接用定义计算定积分是十分繁难的，而利用定积分的几何意义来计算的定积分的类型则相对较少。 因此我们期望寻求一种计算定积分的简便而又一般的方法.我们发现定积分与不定积分之间有着十分密切的联系，从而可以利用不定积分来计算定积分. 积分上限函数 记为 积分上限函数 积分上限函数的性质 证： 由积分中值定理得 定理的重要意义： 肯定了连续函数的原函数是存在的. 定理2（原函数存在定理） 更一般情况 注明：若上限不是 x 而是 x 的函数 a(x)， 则求导时必须按复合函数的求导法则进行 证： 例 1： 例 2： [分析]：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解： 作业 P240 4 5 第五章 定积分的概念与性质 微积分的基本构成 微积分 积分 微分 定积分 不定积分 互逆的函数运算 * 定积分的思想 起源于不规则对象的度量 以平面几何形状的面积度量为例 先考虑规则形状面积的度量 如何求不规则形状的面积？ 面积 S=? 问题：如何计算这些不规则区域的面积？ y 如何求不规则形状的面积？ 为了简单起见，我们先考虑边界部分不规则的情况 我们采取“以直代曲”的思想 x a b 0 x y a b 0 0 x a b y 定积分的引入 在区间 中插入n-1个节点 长度为 把 分成n个小区间 任取 以 为底， 为高的小矩形面积为 因此蓝色区域的面积为： 当分割无限加细，即小区间的长度 趋向于零 曲边梯形面积的近似值为 若右式极限存在 曲边梯形的面积 定积分的引入 x a b y 0 设函数 在 上有界， 把区间 分成任意n个小区间，每个区间的长度是 在每个小区间上任取一点 ，作和式 记 ，若当 时，和式 的极限存在， （记为 ），则称 在 上是可积的，极限值 称为 在 上的定积分，记作 。 定积分的定义 用分点 被积函数 积分变量 积分下限 积分上限 积分和 注意： 定理1： 定理2： 可积函数 问题：在闭区间[a,b]上,什么样的函数是可积的呢？ 定积分的几何意义 曲边梯形面积 各部分面积的代数和 曲边梯形面积的负值 解： 利用定义计算定积分 例 1： 右侧取点 利用定义计算定积分 例 2： 解： 在 [0,1]上连续，故f(x)在[0,1]上可积 为方便计，将 [0,1]n 等分，左侧取点 等比数列 左侧取点 解: 观察表达式. 例 3： 定积分的性质 对定积分的补充规定: 在下面的性质中，我们都假设各函数的定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 说明：交换定积分的上下限时，定积分的绝对值不变，符号相反. 证： 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 性质1： 性质2： 证： 性质1+性质2得： 即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 ——说明定积分也具有线性运算性质. 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例如 则 定积分对于积分区间具有可加性. 性质3 性质5（非负性） 证 性质4 性质5的推论：（比较定理） （1） （2） 例 1： 解：令 设 f(x) , g(x) 在 [ a , b ] 上连续，证明 ①若在 [ a , b ] 上 则在 [ a , b ] 上 ②若在 [ a , b ] 上 ③若在 [ a , b ] 上 则在 [ a , b ] 上 例 2： 性质5的推论：P233.7（比较定理） 性质6（估值定理） 例 3： 解： 积分中值公式 性质7（定积分中值定理） 使 即 积分中值公式的几何解释： * 定积分的思想和方法： 分割 求和 小结与思考 以直代曲 取极限 定积分和不定积分定义的角度完全不同，那么它们会有什么样的联系呢？