第六章 微积分创立.doc

第六章 微积分的创立 解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台． 微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追溯到古代．我们已经知道，面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题．在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无穷小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子．前面已经介绍过阿基米德、刘徽和祖冲之父子等人的方法，他们的工作，确实是人们建立一般积分学的漫长努力的先驱． 与积分学相比而言，微分学的起源则要晚得多．刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题．古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试，如阿基米德《论螺线》中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法；阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》中讨论过圆锥曲线的切线，等等．但所有这些都是基于静态的观点，把切线看作是与曲线只在一点接触且不穿过曲线的“切触线”而与动态变化无干．古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，如郭守敬《授时历》中求“月离迟疾”(月亮运行的最快点和最慢点)、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值(郭守敬甚至称之为“极数”)等问题，但东方学者以惯用的数值手段(“招差术”，即有限差分计算)来处理，从而回避了连续变化率．总之，在17世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是很罕见的． 6.1 半个世纪的酝酿 近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶这半个世纪．为了理解这一酝酿的背景，我们首先来略微回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件． 首先是1608年，荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜，不久伽利略将他制成的第一架天文望远镜对准星空而作出了令世人目不暇接、惊奇不已的天文发现．望远镜的发明不仅引起了天文学的新高涨，而且推动了光学的研究． 1619年，开普勒公布了他的最后一条行星运动定律．开普勒行星运动三大定律要意是： I．行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点； Ⅱ．由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等； Ⅲ．行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比． 开普勒主要是通过观测归纳出这三条定律的．从数学上推证开普勒的经验定律，成为当时自然科学的中心课题之一． 1638年，伽利略(Galileo Galilei，1564-1642)《关于两门新科学的对话》出版．伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为时达到，等等．伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情． 凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点：确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决．与此同时，行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等又使积分学的基本问题---面积、体积、曲线长、重心和引力计算的兴趣被重新激发起来．在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时期内，取得了迅速的进展．以下介绍在微积分酝酿阶段最有代表性的工作． (一)开普勒与旋转体体积 德国天文学家、数学家开普勒(Johannes Kepler，1571-1630)在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》，论述了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法．开普勒方法的要旨，是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积．例如他认为球的体积是无数个小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面 面积的三分之—(). 开普勒考虑的另一个例子是由半径为的圆围绕其所在平面上的与圆心距离为的垂直轴旋转而形成的圆环，他证明这个圆环的体积等于该圆的面积与圆心经过的路程之积： . 他推导这一公式的办法是：用通过旋转轴的平面把圆环分成无穷多个内侧较薄、外侧较厚的垂直薄圆片(如图)而把每一个薄圆片又分成无穷多个横截面为梯形的水平薄片．先推导出每个圆片的体积是,其中 是圆片最小厚度与最大