第十一节 圆锥曲线综合问题—定点、定值、探索性问题.docx

第十一节　圆锥曲线的综合问题—定点、定值、探索性问题例1、已知椭圆＋＝1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点.例2、如图，已知双曲线C：－y2＝1(a0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.例3、一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1) 求曲线C的方程；(2) 设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.例4、椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k2≠0，证明＋为定值，并求出这个定值.第十一节课堂练习1、如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由.3、已知椭圆E：＋＝1(ab0)以抛物线y2＝8x的焦点为顶点，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆E相交于A，B两点，与直线x＝－4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足＝＋(其中O为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点T，使得·为定值？若存在，求出点T的坐标及·的值；若不存在，请说明理由.4、已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．5、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|＝1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得·＝0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．6、已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F2且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，△EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2＋y2＝3相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k·k′为定值．7、已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：＋为定值．8、如图，椭圆E：＋＝1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.(1)求椭圆E的方程．(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．9、已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且直线y＝x＋b是抛物线C2：y2＝4x的一条切线．(1)求椭圆C1的方程．(2)过点S的动直线l交椭圆C1于A，B两点．试问