第十一讲 定积分计算.ppt

第十一讲 一、牛顿 – 莱布尼兹公式 例1. 计算 例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 说明:牛顿–莱布尼兹公式又称为微积分基本公式 二、定积分的换元法 说明: 例4. 计算 例5. 计算 例6. 三、定积分的分部积分法 例7. 计算 例8. 证明 四、无穷区间上的反常积分 定义1. 设 例9. 计算反常积分 例10. 证明第一类 p 积分 说明：此例结果可作为重要的反常积分公式使用 2. 设 3. 设 * 三、定积分的分部积分法 不定积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的计算 第十一讲 一、牛顿 – 莱布尼兹公式 四、无穷区间上的反常积分 ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据定理 1, 故 因此 得 记作 定理1. 函数 , 则 解: 例2. 计算正弦曲线 的面积 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 速停车, 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时, 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为 刹车, 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 车到停车走了多少距离? 则有 积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 定理2. 设函数 单值函数 满足: 1) 2) 在 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 1) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 2) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 配元不换限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 ∴ 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 解: 令 则 ∴ 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 证: (1) 若 (2) 若 偶倍奇零 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 令 n 为偶数 n 为奇数 则 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得递推公式 于是 而 故所证结论成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明： 基本积分法 换元积分法 分部积分法 换元必换限 凑微分不换限 边积边代限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 并非不定型 , 说明: 上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散 . 引入记号 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 证:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解： 1. 设 求 定积分为常数 , 设 , 则 故应用积分法定此常数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 解法1 解法2 对已知等式两边求导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得 求 解: (分部积分) 机动 目录 上页 下页 返回 结束