第十章 积分学在几何上应用.ppt

现在,我们来求由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴 所围成的曲边梯形 （其中ab,且在 绕x轴旋转一周而成的旋转体体积(如图)． 过 上任一点x作平面 垂直于x轴， 此平面与旋转体 相截所得截面是圆， 其半径 为 y=f(x), 因此截面面积为 由平行截面面积为已知 的立体体积公式得旋转体体 积为 同理,由曲线 直线 及y轴围成的曲边梯形 绕y轴旋转一周而成的旋转体 (如图所示)体积为 例13 求椭圆 分别绕 轴与 轴旋转所得旋转体的体积． 而绕y轴旋转所得旋转椭球体的体积为 可得半径为a的球体体积为 解 如图所示， 由椭圆方程得 利用对称性， 绕x轴旋转所得旋 转椭球体积为 当a=b时， 例14 求由两条抛物线 所围图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． (1，1)， 于是 解 如图， 解方程组 得两曲线交点为(0，0)， 例15 计算由摆线 的一拱 与 轴所围图形分别绕 轴、 轴旋转而成的旋转体的体积． 解 如图， 由旋转体体积公式， 所围图 形绕x轴旋转而成立体体积为 为求所围图形绕y轴旋转所成体积, 仍取x为积分 变量， 由于如图阴影部分图形绕y轴旋转所成体积 近 似为 取体积元素为 于是所求体积为 或 3）空间立体的体积 由下底 上底 及投影区域 所围的“柱体”的体积为 例16 求由锥面 及旋转抛物面 解法一 由极坐标 解法二 （用二重积分） （用三重积分） 由 消去z, 得到投影区域为： 由柱面坐标 所围成的立体的体积. 三、曲线的弧长 弧微分: 所求平面曲线的弧长为 (1)曲线弧由直 确定时, 角坐标方程 (2)当曲线弧由参数方程 所求弧长为 确定时, (3)当曲线弧由极坐标方程 所求弧长为 确定时, (4)同样对于空间曲线 其弧长为 例16 求曲线 位于区间[0，1]上的弧长． 解　 由弧长公式 例17 求摆线 一拱 的弧长． 摆线一拱两端点所对应的t值为0与2π， 于是所求弧长为 解　 例18 求阿基米德螺线 相应于 从 0到 一段的弧长． 解 于是所求弧长为 第十章 积分学的应用 第一节 积分学在几何上的应用 一 、平面图形和空间曲面的面积 1）用定积分计算平面图形的面积 （1）直角坐标情形 如图, 设曲边梯形以区 为顶, 由元素法得曲边梯形的面积 曲线 间[a,b]为底, 面积元素 1.平面图形的面积 得交点为(0，0)及(3，3)， 在区间[0，3]上任取一个小区间 得面积元素为 例1 求抛物线 与直线 所围成图形的面积. 解：如图， 解方程组 于是， 所求面积为 例4 求由摆线 及 解 利用参数方程得 轴围成图形的面积 2）用二重积分计算平面图形的面积 例8 用二重积分的方法求椭圆 由二重积分的性质， 平面区域 的面积 解 如图所示， 由 二重积分计算法并注意到对称性有 的面积. 所求面积为 （2） 极坐标的情形 图10-7（） 在极坐标系中， 由连续曲线 所围成的图形称为曲边扇 形(见10-7（ ）)， 现在求它的面积. 情形1 极点不包含在区域 内部的情形 其中函数 在 上连续， 则曲边扇形 面积为 于是曲边扇形面积为 情形2 极点包含在区域 内部的情形 情形3 极点在区域 的边界上, 可得曲边扇形 面积为  例6 求心形线 所围图形的面积 . 解 心形线如图所示， 由对称性 例7 求由圆 与圆 所围成的图形的面积（在 外面部分,如图所示）. 解 将 与 化为极坐标方程为 与 解方程组 得两曲线交点为 和 由对称性得所 求的面积为 3）用曲线积分计算平面图形的面积 的方向为逆时针方向. 利用格林公式得到闭曲线 L所围区域D 的面积为 其中 例9 求星形线 所围图形的面积. 解 当 从 变到 时， 点 逆时针方向描出了整个封闭曲线 如图， 故所求面积为 2.空间曲面的面积 设曲面 由方程 给出， 为曲面 在 面上的 投影区域（如图）， 函 数 在 上具有连续偏导 数 和 则曲面 的面积 或 若曲面的方程为 或 可分 别将曲面投影到 面或 面， 设所得到的投影 区域分别为 或 类似地有 例11 求球面 含在柱面 解 如图， 所求曲面