第十讲-虚功原理及单位载荷法.ppt

第 11 章 能量法（一） §1 外力功与应变能§2 互等定理§3 余能与卡氏第二定理§4 变形体虚功原理§5 单位载荷法 ? 克罗第－恩格塞定理 卡氏定理 卡氏定理 §4 变形体虚功原理 ? 变形体虚功原理 ? 变形体虚功原理的证明 ? 变形体虚功原理 ? 变形体虚功原理 可能内力 可能内力 可能变形 ? 变形体虚功原理的例证 ? 变形体虚功原理的例证——讨论 ? 变形体虚功原理的例证——讨论 §5 单位载荷法 ? 单位载荷法的基本公式 ? 单位载荷法的常用公式 ? 例题 ? 单位载荷法的基本公式 ? 单位载荷法的常用公式 ? 例题 ( ? ) AB段： BC段： 例 5-5 杆1： ; 杆2：s=Ee 。求DBy 解： 1. 内力分析 2. 位移计算 * 讲授内容 上讲回顾 余功与余能Complementary Work and Complementary Energy 弹性体的余能Vc数 值上等于余功： 余功的定义: ? 上讲回顾 单向应力状态下的余能密度为 故拉压杆与梁的余能为 余能计算 《材料力学（II）》第1版， 单辉祖编著，高教社 弹性体的余能对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的相应位移 Dk－ 克罗第－恩格塞定理 线性弹性体的应变能，对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的相应位移 D k －－ 卡氏第二定理 对于线性弹性体： 1）适用于线弹性体； 2）附加载荷法； 3）引入新变量，区分相关载荷； 4）求相对位移； 5）正确理解载荷相应位移的概念。 应用卡氏定理的几个问题： 几个概念 1）与外力保持平衡并满足静力边界条件的内力，称为静力可能内力或可能内力 1、可能内力与外力（静力许可场） 2）杆的可能内力用FN, T, FS与M表示 ?）可能内力与外力 结构的静力许可场 1）满足变形连续条件与位移边界条件的任意结构位移，称为几何可能位移，相应之变形称为可能变形 2、 可能位移与可能变形（运动许可场） 3）杆微段的变形用dd , df 与dq 表示 2）杆件的位移： 几个概念 运动 许可场 可能内力满足： 可能位移与变形满足： （平衡条件） （静力边界条件） （变形连续条件） （位移边界条件） 例如 ? 变形体虚功原理 Px 1 2 l2 l1 ? A Py P P 1 2 l2 l1 ? A Px Py ? 变形体虚功原理 Px 1 3 2 l2 l3 l1 ? A Py 平衡方程有无数内力解答；任一组内力解答均为可能内力 Px Py 1 3 2 l2 l3 l1 ? A A’ Δl2 Δl1 Δl3 ? 变形体虚功原理 1 3 2 l2 l3 l1 ? A A’ Δl2 Δl1 Δl3 满足变形协调条件的任一组变形均为可能变形 假想的、微小的可能位移，称为结构的虚位移，相应之变形称为虚变形 杆微段的虚变形用dd *、df *与dq *表示 3、 虚位移与虚变形 4、 虚功（以梁为例） 结构的外力与内力 任取结构的虚位移与虚变形 几个概念 如何表示？ 二者的关系？ 如温度变形 5、内力虚功与外力虚功 ? 作用在所有微段上的可能内力在虚变形上作之总虚功－内力虚功 ? 外力在可能位移上所作之总虚功－外力虚功 变形体虚功原理 可以证明：外力在虚位移上所作外力虚功 We，等于可能内力在虚变形上所作内力虚功 Wi，即 We ＝ Wi 称为变形体虚功原理（虚位移原理） Principle of Virtual Work 可能内力满足： 虚位移满足： （平衡条件） （静力边界条件） （变形连续条件） （位移边界条件） ? 外力虚功 ? 内力虚功 ? 比较 证毕！ 讨论： 1）简支梁： 位移边界条件与静力边界条件 2）悬臂梁： 位移边界条件与静力边界条件 适用于线弹性、非线弹性、非弹性体 ? 关于变形体虚功原理 外力 内力 虚位移 虚变形 满足变形协调条件、位移边界条件 静力许可场 运动许可场 彼此独立 外力虚功 内力虚功 满足平衡方程、静力边界条件 结构的载荷状态 构造单位(载荷)状态 运动许可场 静力许可场 D－线位移，加单位力 D－角位移，加单位力偶 D－相对线位移，加一对相等相反单位力 D－相对角位移，加一对相等相反单位力偶 ? 关于位移与单位载荷 ? 关于位移方向 当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向 D －广义位移，施加相应单位广义载荷 实际变形 由载荷状态下的实际内力 确定 线弹性拉压杆与桁架： 处于平面弯曲的线弹性梁与刚架： 基本变形情况 线弹性轴： ?