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第四章 图像的数学表示 第一节 图像的一般数学描述 一、连续图像的一般数学描述 非发光物体的成像不仅与摄像机的光电转换特性有关，而且还与光源强度、光源到物体的距离，入射光与物体表面法线的夹角，入射光与摄像机的夹角，物体表面法线与摄像机的夹角以及物体表面的反射率等因素有关。 摄像机的成像靶面上接受到波长为的光辐射功率可表示为 （4－1） 黑白摄像机亮度信号与光辐射功率关系为 （4－2） 其中分别为摄像机感光的上、下限波长，为摄像机光谱响应函数，为可调系数 。 对于彩色摄像机，其R、G、B的色度值为 （4－3） 其中 、 、 为摄像机对V、G、B的光谱响应函数 。 一般彩色摄像机为了符合人眼的彩色视觉特性，其光谱响应函数设计成如图所示的特性， ， ， 为可调系数。 在光源强度恒定情况下，同时所摄的物体为一静物时，则图像的亮度由式（4－2）变为 （4－4） 这是图像处理中常采用的表达形式。 二、 离散图像的数学描述 对于连续图像 在空间上采用图方式进行采样，并量化处理后可获得离散图像。采样函数的数学形式为 （4－5） 其中、为和方向上的采样点数，于是采样后的图像为 （4－6） 采样后，x、y是整数，所以常用i、j来表示，量化后的取值也为整数，如用8bit量化，则取值范围0－255。于是离散的黑白图像可用矩阵来表示： 三、图像的随机线性模型 图像总是受到噪声干扰，因此有多种表示图像受干扰的随机模型，其中最简单的模型形式是: 式中 为受噪声干扰影响的图像， 为表征物体未受噪声影响的图像， 为干扰噪声 第二节 图像几何模型 一、 卡笛尔坐标下的几何模型 图像处理中，常利用不考虑透镜畸变的小孔摄像机模型来建立三维物体与二维图像点之间的关系，图即为用小孔摄像机模型来推导三维景物点 到二维图像点 的变换关系的示意图 。 图4－4的成像模型约束了位于含有 、 和 的三维线段上任何一物体点所对应的图像平面上的成像点，这三点具有共线关系： 式（4－9）写成矩阵形式将 （4－10）展开，得 由（4－11）可以看出，物体点与其图像平面成像点之间存在着非性性关系。 在许多应用场合，满足，这种情况称为无穷远视场（far-field）或大伸缩比假设，于是（4－11）的近似表示为 ： 式中 称为伸缩比。 二、齐次坐标下的几何模型 采用齐次坐标可以统一表达许多重要的几何变换。但齐次坐标表示会有冗余信息，因此对于一个卡笛尔的物理坐标点，在齐次坐标系中不存在唯一的表示。图像点 和物体点 在齐次坐标中的表示和分别为： 式中 ,且暂不考虑 。 通过矢量空间的维数增加，可将透视投影中式（4－11）的非线性关系表示为： 这里 （4－14）的P1的表示不是唯一的，用一个非零标量系数与P1相乘，式（4－13）关系依然成立。 在齐次坐标系中，选择一物体点为 代入式（4－13）可得到相应的齐次坐标系下图像点的坐标为： 将齐次坐标系下的图像坐标