第四节 平面上曲线积分及路径无关的条件.ppt

第四节 平面上曲线积分 与路径无关的条件 一、定义 二、条件 三、应用 一、定义 定义1. 设区域 D?R2. 若D内任一简单曲线所围 内部完全属于D. 则称D为单连域, 否则称D为复连域. 单连域 复连域 A L2 L1 D B 设D是一开区域,P、Q在D内有一阶连续偏导数,若对任意两点A，B以及从点A到点B的任意两条曲线L1和L2，恒有 则称此曲线积分在D内与路径无关. 定义2. 定理2 设D?R2为有界单连域，若P(x,y)和Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，则下列四个条件等价： (1) 对D内任一光滑或分段光滑的简单闭曲线C有 (3) 在D内存在一个函数u(x,y),使得 du(x,y)=Pdx+Qdy, 二、条件 证明 采用循环论证 (1) ? (2) 设?A、B?D D y x o B A 设?连接A、B两点的弧段L1、L2 ? D，如图 由(1)得 E F 故(2)成立。 (2) ? (3) 取定A(x0,y0)?D ?B(x,y) ? D D y x o ? A(x0,y0) B(x,y) ? ? C(x+?x,y) 由(2)得 只与B(x,y) 有关 故可令u(x,y)= 考察u(x,y)的可导性。 =P(x,y) 故在D内存在一个函数u(x,y),使得 du(x,y)=Pdx+Qdy, (3)成立 (3) ? (4) 设 D内存在一个函数u(x,y),使得 du(x,y)=Pdx+Qdy 由于P、Q具有一阶连续偏导， (4) ? (1) L围成的区域为?，由于D是单连通的，因此 ??D,由Green公式得 两个条件缺一不可。 有关定理的说明： (1) 区域D是单连通区域 ; (2) 函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数. 综合之定理成立 判断时应用最方便、最具操作性的是(4) 在曲线积分中破坏区域D的单连通性、以及函数P(x,y)、Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数的点称为奇点。 奇点 在定理2的条件下， 曲线积分在D内与积分路径无关。则 且具有du(x,y)=Pdx+Qdy， 称u(x,y)为Pdx+Qdy的一个原函数。 例1. 证明：对任一光滑的简单闭曲线C，有 x 0 C y 证： 因为 P=2xy，Q=x2，有 所以 三、应用 例2 计算 其中L为 上由点O(0, 0)到点A(2, 0)的一段弧. 解：因为P=x2–y, Q= – (x+sin2y), 有 所以此曲线积分与路径无关， 取 ：y=0 0≤x≤2 0 x y A L 所以 解 例3 * *