第四节 定积分的概念及性质(2节课).ppt

第四节 解决步骤 : 3) 求和 2. 变速直线运动的路程 3) 求和 二、定积分定义 ( P95 ) （5）可积的充分条件: 三、定积分的几何意义 注: * * * * * * * * * 一、两个实例 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 定积分的概念及性质 第五章 四、定积分的性质 a b x y o 一、两个实例 1. 曲边梯形的面积 思考：如何求曲边梯形的面积 ？ 及曲线 所围成 的图形 轴 则由直线 在 上非负、连续， 设 称为曲边梯形。 1) 分割（大化小） 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形。 2) 近似（常代变） 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 4) 取极限 令 则曲边梯形面积为： 设某物体作直线运动, 且 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 已知速度 解决变速运动的路程的基本思路： 把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． 解决步骤: 1) 分割 将它分成 在每个小段上物体经 2) 近似 得 n 个小段 过的路程为 4) 取极限 上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 : 分割, 近似 , 求和 , 取极限。 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 曲边梯形的面积： 变速运动的路程： (1)分割： (2)作积： (3)求和： (4)取极限： 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 定积分定义的几点说明： (1)f(x)的定积分存在，则称f(x)可积；反之称不可积。 (3)定积分表示一个数，它的值只与被积函数及积分上、下限（即积分区间[a,b]）有关，而与积分变量采用什么字母无关。 例如 （4）补充如下规定： 当a=b时： 当ab时： 定理1. 定理2. 且只有有限个第一类 间断点 由定积分的定义可知： a b x y o 1.曲边梯形的面积 设某质点作直线运动，速度 ) ( t v v = 是时间间 隔 ] , [ 2 1 T T 上 t 的一个连续函数，物体在这段时间内所经过的路程 等于v(t)在区间 上的定积分。 ] , [ 2 1 T T 2.变速直线运动的路程 a b x y o o y a b x 解 函数 y?1?x在区间[0, 1]上的定积分表示曲线y=1-x,x=0,y=1及x轴所围成的曲边梯形的面积. 如图所示，其图形为直角三角形，故 例1 例2 解： x y f(x)=sinx 1 -1 性质1 常数因子可提到积分号外 四、定积分的性质（P96） 注：此性质可以推广到有限个函数代数和的情况。 性质2 两个函数代数和的定积分等于它们定积分 的代数和。 性质3 （积分区间的分割性质） 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则 性质4 如果在区间 [ a , b ]上 ，f (x)≤ g (x)，则 例3 比较积分值的大小 性质5（估值定理） 设M 与 m分别是函数 f (x) 在 区间 [ a , b ]上的最大值 与最小值，则 例4 估计定积分 的值。 解： * * * * * * *