第四讲 一元函数积分学2013(庄平辉).ppt

积分的计算 例31 计算不定积分 提示： 作变换 ， 积分的计算 例32 设 提示： 作变换 ， ， 计算 则 积分的计算 例33 求不定积分 提示： 先计算函数 的一个原函数 ， 即求不定积分 ，可得 于是， ， 再应用 分部积分公式。 积分的计算 例34. 求不定积分 提示： ， 注意到 然后对 分部积分. 类似的例子有： ， 积分的计算 例35. 设 ， 求 提示： 设 ， 由 可得 则 积分的计算 例36 计算下列定积分 （1） ； （2） 提示： （1） 利用函数的奇偶性； （2） 利用 积分的计算 例37 设 提示： 两边同乘 两边积分 ， ，求 ，求出 即可得到 定积分 类似的例子还有： 1. 设 ，求 2. 设 ，求 积分的计算 例38 设 提示： 由 于是， 是 的一个原函数， 且 ， ， 求 及 求得 与定积分相关的证明题 例39 提示： 由 向上凹。 设函数 二阶可导，且 ， 又 为任意一个连续函数，证明不等式： 知，曲线 故 其中 与定积分相关的证明题 例40 设函数 在[0,1]上有连续的导数， 且 ， ， 证明不等式 证明： 构造辅助函数 与定积分相关的证明题 例41 设 f (x) 在[0, 1]可导， 当 时， 有 ， 且 证明存在惟一的点 ， 使得 提示： 作辅助函数 ， 利用零点定理证明。 由 的单调性证明唯一性。 与定积分相关的证明题 例42 设 f (x) 在[a, b]上连续， ， 证明：在(a, b)内至少存在两个不同的点 ， 使得 证明： 作辅助函数 显然 注意到 因此，只需证明存在 ， 使得 . 然后利用罗尔定理，可证明结论. 与定积分相关的证明题 例43 设函数 在闭区间 上连续， 在开区间 内可导， 且 ， 求证： 在开区间 内至少存在一点 ， 使得 提示： 利用积分中值定理，存在 ，使得 作辅助函数 最后，利用罗尔定理证明结论. 与定积分相关的证明题 例44 设函数 在 上非负可导， 且 证明存在惟一的 ， 使得 提示： 辅助函数 ，利用罗尔定理 证明. 由 证明 ，从而证明惟一性. 与定积分相关的证明题 例45 设 f (x) 在[a, b]上连续，证明 注： 柯西不等式： 提示: 辅助函数 与定积分相关的证明题 例46 设函数 在闭区间 上连续， 且有二阶 导数， 证明：存在一点 ，使得 提示： 先证明存在一点 ，使得 并取得最大值. 然后利用泰勒展开及 即可证明. 与定积分相关的证明题 例47 设 f (x)在[–a, a] (a 0)上连续，且具有二阶 连续导数，f (0) = 0. （1）写出 f (x) 的带Lagrange余项的一阶Maclaurin 公式； （2）证明在[–a, a]上至少存在一点 ，使得 与定积分相关的证明题 提示： （1）对任意 位于 0 和 x 之间. （2） 两边积分， 可得 其中m，M分别是 在 上的最小值和最大值. 利用介值定理可以得到结论. 定积分的应用 例48 设质点在时间 t = 0 开始做直线运动， 至 t = 1 时 停止，其间走过路程为1， 试证必有某个时刻 t 的加速 度的绝对值大于4. 提示： 路程函数 S(t) 满足： 由 ， 经分部积分后可得 若对于 ， 将导出矛盾. 定积分的应用 例49 若直线 x = 0，x = a，y = 0 和正连续曲线 y = f ( x ) 围成区域的形心的 x 坐标是 g (a) ，证明： ， 其中 A 是常数. 提示： 形心的 x 坐标为 ， 移项后可得 定积分的应用 两边对 a 求导， . 两边积分可得结论. 一元函数的积分学 庄平辉 厦门大学数学科学学院 zxy1104@xmu.edu.cn 景润杯数学竞赛系列讲座 一元函数积分的概念与性质 例1 设函数 f (x) 在区间 I 上有原函数 F (x)，即 证明：若存在 是 f (x) 的间断点，则 必为 的第二类间断点. 证明： 用反证法. 若 为 的第一类间断点, 可以推出 在 处连续. 一、原函数的概念 一元函数积分的概念与性质 二、定积分的定义 例2. 用定积分定义求定积分 如果 在 上可积，则 特别地， 如果 在 上可积，则 一元函数积分的概念与性质 例3. 求下列极限： （1） （2） （3） （取对数，将连乘变成和式） （利用夹逼极限准则） 一元函数积分的概念与性质 例4. 在Oxy平面上，把连接点O(0,0), P(1,0)的线段 OP剖分为 n 等分，各分点依次记为 从点 引抛物线 的切线， 切点记为 设三角形 的面积为 ，求极限 一元函数积分的概念与性质 三、定积分的性质 例5. 设 是 上非负的连续函数， 且 不恒等于零，则必有