线性方程组的消元法与矩阵的初等变换.ppt

第一章 线性方程组的消元法 第一节 线性方程组的消元法 2. 线性方程组的线性组合 线性方程的加法： 线性方程乘常数 将线性方程 (3) 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量). 称为对角 矩阵(或对角阵）. （3） 形如 的方阵, 不全为0 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如 记作 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 . （5）方阵 称为单位矩阵（或单位阵）. 同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. 全为1 2.两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即 则称矩阵 相等,记作 例如 为同型矩阵. 矩阵的转置 （1）定义 设 是一个 矩阵，把A的各行都变为列，不改变它们前后的顺序而得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记为A （或AT ）即 A = 线性方程组 称为方程组的系数矩阵； 称为方程组的增广矩阵。 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义 2 * 和矩阵的初等变换 线性方程组的消元解法 矩阵的初等变换 一、线性方程组的基本概念 1. 线性方程组的定义 引例 有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3，其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t 引例 有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3，其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t 不妨假设每吨货物每公里的运费为 1 元 ，问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？ 解 设各厂到各用户的产品数量如表 1-2 依题意，3个厂的总产量和用户的总用量相等： 再来看总运费，由表1-1： 1 2 于是，题目要解决的问题是： 使之满足方程组 ① 和 ② 并使总运费最少 . 几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数的个数为 n ，方程个数为 m ，则线性方程组可以写成如下形式 ： 若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组， 否则 ，称为非齐次线性方程组 . 将两个线性方程 (1) (2) 的左右两边相加得到如下的新线性方程： 称为原来两个线性方程的和。 两边同乘以非零常数 ， 线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。 线性方程的线性组合 将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数 再将所得的两个方程相加，得到新方程： 得到一个新的线性方程： 称为原来两个方程(1)和(2)的一个 称为这个线性方程的组合系数。 将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II)，如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合，就称(II)是(I)的线性组合。 线性组合， 若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组 等价， 等价的线性方程组一定同解。 将方程组(I)变成 方程组(II)的过程称为 同解变换。 例1 二、线性方程组的消元法 求解线性方程组 1、线性方程组的初等变换 解 用“回代”的方法求出解： 于是解得 (2) 小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （以　　　 替换 ） 定义1 上述三种变换均称为线性方程组的初等变换 ． （以　　　 替换　 ） （　 与　 相互替换） 3．上述三种变换都是可逆的． 　　由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． 定理1 　　线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组 ． 2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组) 2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组) 2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组) 2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组) 2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组) 定理2 在齐次线性方程组 证明： 显然 ，方程组在化成阶梯型方程组之后 ， 方程个数不会超过原方程组中方程个数 ，即 第二节 矩阵的初等变换 为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表，用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与求解线性方程组相应的初等