线性空间及线性变换习题.ppt

* 第六章 习题课 一、线性空间的定义 定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于任意两个元素?, ? ?V, 总有唯一的一个元素? ?V与之对应, 称? 为?与? 的和(简称加法运算), 记作 ? =? +?. 若对于任一数??R与任一元素??V, 总有唯一的元素? ?V与之对应, 称?为数?与?的积(简称数乘运算), 记作 ? =?? . 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么, 就称V为数域R上的向量空间(或线性空间): 设?, ? , ? , O ?V, 1, l, k ?R, (1) 加法交换律: a+b =b +a ; (2) 加法结合律: (a+b )+g =a+(b +g ) ; (3) 零元素: 存在O ?V, 对任一向量a , 有a+O=a ; (4) 负元素: 对任一元素a?V, 存在? ?V, 有a+? =O , 记? =–a ; (5) 1 a = a ; (6) 数乘结合律: k(l a) = (l k)a ; (7) 数乘对加法的分配律: k(a+b )= ka+kb ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l)a = ka+la . 二、线性空间的性质 1. 零元素是唯一的. 2. 负元素是唯一的. 3. 0?=0; (–1)? =–? ; ?0=0. 4. 如果?? = 0, 则 ? = 0 或 ? = 0. 三、线性空间的子空间 定义2: 设V是一个线性空间, L是V的一个非空子集, 如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间, 则称L为V的子空间. 定理: 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是: L对于V中的线性运算封闭. 四、线性空间的基与维数 定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素?1, ?2, ···, ?n?V, 满足: (1) ?1, ?2, ···, ?n 线性无关; (2) V中任意元素?总可以由?1, ?2, ···, ?n线性表示, 则称?1, ?2, ···, ?n为线性空间V的一个基, 称n为线性空间V的维数. 　　当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时, 就称V是无限维的. 维数为n的线性空间V称为n维线性空间, 记作Vn. 若?1, ?2, ···, ?n为Vn的一个基, 则Vn可表示为: Vn = { ? = x1?1+x2?2+···+xn?n | x1, x2, ···, xn?R } 五、元素在给定基下的坐标 定义: 设?1, ?2, ···, ?n为线性空间Vn的一个基, 对任意??V, 总有且仅有一组有序数x1, x2, ···, xn, 使 ? = x1?1+x2?2+···+xn?n , 则称有序数组 x1, x2, ···, xn 为元素?在基?1, ?2, ···, ?n下的坐标, 并记作? = (x1, x2, ···, xn)T. 线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是唯一的, 在不同的基下所对应的坐标一般不同. 在向量用坐标表示后, 它们的运算就归结为坐标的运算, 因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间Rn的讨论. 定义: 设U, V是两个线性空间, 如果它们的元素之间有一一对应关系, 且这个对应关系保持线性组合的对应, 那末就称线性空间U与V同构. 结论1. 同一数域P上的同维数线性空间都同构; 结论2. 同构的线性空间之间具有等价性. 　　同构的意义: 在对抽象线性空间的讨论中, 无论构成线性空间的元素是什么, 其中的运算是如何定义的, 我们所关心的只是这些运算的代数(线性运算)性质. 从这个意义上可以说, 同构的线性空间是可以不加区别的, 而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数. 六、基变换公式与过渡矩阵 设?1, ?2, ···, ?n及?1, ?2, ···, ?n是n维线性空间Vn的两个基, 且有 称以上公式为基变换公式. 在基变换公式中, 矩阵P称为由基?1, ?2, ···, ?n到基?1, ?2, ···, ?n的过渡矩阵, 过渡矩阵P是可逆的. (?1, ?2, ···, ?n)=(?1, ?2, ···, ?n)P 将上式用矩阵形式表示为: 七、坐标变换公式 定理1: 设n维线性空间Vn中的元素?, 在基?1, ?2, ···, ?n下的坐标为: (x1, x2, ···,