维纳滤波器与卡尔曼滤波器.pptx

第七章 维纳滤波和卡尔曼滤（Wiener and Kalman Filtering）;;设有一个线性系统，它的单位脉冲响应是，当输入一个观测到的随机信号，简称观测值，且该信号包含噪声和有用信号，简称信号，也即;;;从图7-1的系统框图中估计到的信号和我们期望得到的有用信号可能不完全相同，这里用来表示真值和估计值之间的误差;显然是随机变量，维纳滤波和卡尔曼滤波的误差准则就是最小均方误差准则：;;第一节 维纳滤波器的时域解（Time domain solution of the Wiener filter）;一、因果维纳滤波器;要使得均方误差最小，则将上式对各，m＝0，1，…，求偏导，并且令其等于零，得：;即;;二、有限脉冲响应法求解维纳－霍夫方程;;于是得到N个线性方程：;简化形式：;只要Rxx是非奇异的，就可以求到H：;由式（7-15）进一步化简得：;意到式（7-15）的表现形式和第三章的AR模型参数估计的矩阵形式类似，因而也可以用前面介绍的L-D快速算法实现求解。 ;则式（7-15）和式（7-19）化为：;;三、预白化法求解维纳－霍夫方程;其中A(z) 表示系统的传递函数。由于x(n) = s (n) + w(n)，在图7-2的基础上给出x(n)的信号模型，图7-3所示。把这两个模型合并最后得到维纳滤波器的信号模型，图7-4所示，其中传递函数用B(z)表示。;白噪声的自相关函数为 ，它的z变换就等于 。图7-2中输出信号的自相关函数为 ，;;;从图7-4可得;将图7-1重新给出，待求的问题就是最小均方误差下的最佳 ，如图7-5(a)所示，为了便于求这个 ，将图7-5(a)的滤波器分解成两个级联的滤波器： 和G（z）， ;有了上述的模型后，白化法求解维纳－霍夫方程步骤如下：;在上述步骤中， 可以通过已知的观测信号的自相关函数来求得，因而求解 的问题就归结为求解G（z）的问题了。由于G（z）的激励源是白噪声，求解变得容易多了，下面我们分析步骤3的求解过程。;由于 ，代入上式，并且进行配方得：;均方误差最小也就是上式的中间一项最小，所以;由式（7-25）上式可以表示为：;利用帕塞伐尔(Parseval)定理，上式可用z域来表示： ;步骤1;步骤3;;第二节 维纳预测器（Wiener’s Predictor）;一、因果的维纳预测器;对于图7-6模型，设;即;借鉴维纳滤波器的结果类似给出维纳预测器的最佳 传递函数，对应维纳预测器;;求z变换：;求z变换：;对括号里面求z反变换，注意括号内的收敛域为：;最小均方误差为： ;二、纯预测器（N步）;将上式代入式（7-41）、（7-43）得：;;容易找到最小相位系统和白噪声方差:;;它说明当N越大，误差越大，当N＝0时，没有误差。 把上述结果用模型表示如图7-8所示。;三、一步线性预测器;式中p为阶数，;最小均方误差：;例7-5】已知图7-7中x(n)=s(n)，其中;解得：;第三节 维纳滤波器的应用（Application of Wiener Filter） ;;一、观测样本;对每次观测用短时傅立叶变换求时频表示（TFR）：;二、公式修正;三、TFPW的计算过程;图7-10 TFPW的模拟实验结果注：(上图)原信号是两个正弦波，观测信号混有白噪声；(下图)原信号是线性调频信号，观测信号混有白噪声。;五、需要进一步研究的问题;第四节 卡尔曼滤波的信号模型（Signal Model of Kalman Filtering）;一、状态方程和量测方程;激励信号;; (7-54);假如;二、信号模型;【例7-6】设卡尔曼滤波中量测方程为;变换到时域得： ;第五节 卡尔曼滤波方法（Method of Kalman Filtering）;一、卡尔曼滤波的一步递推法模型;上两式中如果没有;;;二、卡尔曼滤波的递推公式;根据上式来求最小均方误差下的;;与;令 ;把上式代入(7-61)即可得均方误差最小条件下的;有了上面四个递推公式后我们就可以得到;将;【例7-7】设卡尔曼滤波中量测方程为;;初始条件为;如果给定每个时刻的观察值就可以得到每一时刻的信号 估计值，上面是递推过程，还没有达到稳态的情况。 假设到了某一时刻k－1，前后时刻的均方误差相等， 也就是误差不再随着递推增加而下降，达到最小的均 方误差了，即稳态情况，式（5）中的误差;将上述结果和维纳滤波的例题7-2的结果相比 较：;第六节 卡尔曼滤波器的应用(Application Kalman Filter);加上干扰和噪声的协