聊聊微积分产生.ppt

告诫学习微积分的学生们： 坚持, 你就会有信心. 达朗贝尔 评语 尽管几乎十八世纪的每位数学家都在微积分的逻辑上做了努力，或至少表示了他们的看法，其中也有一、两个走对了路的，但他们所有的努力都是没有多大用处的。任何棘手的问题都被有意避开或是漠然视之，人们很难区别很大的数与无穷数，数学家们在有限与无限之间随意通行。微积分被称为“计算与度量一个其存在性是不可思议的事物的艺术”。尤其是欧拉、拉格朗日这样的大师对微积分微积分严格化的努力的最终结果，是误导了他们的同代人以及后来者，并且搞乱了他们的思想。总的来说，他们那么明目张胆地犯错误，以致于人们对数学家能否能清楚他们涉及到的逻辑感到绝望。 十八世纪的思想家们所采取的论据的一个奇怪地特点是他们求助于“形而上学”，用它来暗示数学领域之外还存在一个真理体系，虽然这个真理体系究竟是什么还不清楚，但如果需要的话，可以用它来检验人们所做的工作。莱布尼茨、欧拉等数学家都曾借助于形而上学得出过错误的结论。例如，莱布尼茨曾证明过级数 的和为1/2, 实际上，该级数无和。 一般说来，当十七、十八世纪的数学家们不能为一个观点提供更好的证明时，他们就惯于说这其中的理由是形而上学的。因此，在十八世纪结束之际，微积分和建立在微积分基础上的分析的其它分支的逻辑处于一种完全混乱的状态之中。可以说，1800年微积分基础方面的状况比1700年的更差。数学巨匠，尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻辑基础。因为他们是权威，他们的许多同事接受了并不加批判地重复这些观点，甚至将它们进一步发展。他们被引上了一条错误的路。 牛顿与莱布尼茨 实际上在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的大量知识已经积累起来了。甚至在巴罗的一本书里就能看到求切线的方法、两个函数的积和商的微分定理、x 的幂的微分、求曲线的长度、定积分中的变量代换、隐函数的微分定理等等。 牛顿与莱布尼茨 于是人们惊问，在主要的新结果方面，还有什么有待于发现呢？问题的回答是，方法的较大普遍性以及从特殊问题里已建立起来的东西中认识其普遍性。 牛顿与莱布尼茨 数学的真正划分不是分为几何和算术，而是分成普遍的和特殊的。这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家，牛顿和莱布尼茨提供的。 1. 牛顿（Newton） 数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的。需要有一个人来走那最高和最后的一步，这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些碎片重新组织起来，并且能足够大胆地制定一个宏伟的计划。在微积分中，这个人就是牛顿。 牛顿（1642~1727年），英国数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家。生于英格兰林肯郡伍尔索普的一个小村庄里。他的母亲在那里管理着丈夫遗留下来的农庄，他父亲是在他出生前两个月去世的。 少年时期，牛顿在一个低标准的地方学校接受教育，而且是一个除了对机械有兴趣以外，没有特殊才华的青年人。 1661年他进入了剑桥大学的三一学院，安静而没有阻力地学习着自然哲学。1665年牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为伦敦地区鼠疫流行而关闭。他离开剑桥，回到家乡，在那里开始了他在机械、数学和光学上的伟大工作，于1665-1666年间做出流数术、万有引力和光的分析三大发明，年仅23岁。 1667年牛顿回到剑桥，获得硕士学位，成为三一学院的研究员。1669年牛顿接替他的数学老师巴罗的职位，担任卢卡斯数学教授。他不是一个成功的教师，听他课的学生很少。 他提出的创造性的材料也没有受到同事们的注意，只有巴罗及天文学家哈雷认识到他的伟大，并给他以鼓励。牛顿涉猎的学科很多，知识面很广。他从事过光学、天体力学、数学、化学、流体静力学、流体动力学、物理学方面的研究工作，还自己动手制作实验装置，甚至自己制作了两台反射望远镜（制作出做架子用的合金、浇铸框架、做底座、磨光镜头等。） 他在数学上以创建微积分而著称，其流数法（即物质的变化率）始于1665年，系统叙述于《流数法和无穷级数》（1671年完成，1736年出版），首先发表在《自然哲学之数学原理 》（1687）中。其中借助运动学中描述的连续量及其变化率阐述他的流数理论，并创用字母上加一点的符号表示流动变化率（即导数符号）。　　 　　讨论的基本问题是：已知流量间的关系，求它们的流数的关系以及逆运算，确立了微分与积分这两类运算的互逆关系，即微积分基本定理。他用级数处理微分