《代数》复习提要课件.ppt

《线性代数》 下页 结束 返回 下页 第一章教学要求： 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。 3．理解克莱姆法则及其应用。 下页 n阶行列式的计算方法很多，除直接按定义计算外，一般还有下列方法： 1．利用行列式的性质化为三角形行列式计 算法 2. 降阶展开法 行列式的计算 下页 第二章教学要求： 1．理解矩阵的概念。 2．了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称 矩阵，以及它们的性质。 3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律， 了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。 4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的 充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。 5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。 6．了解分块矩阵及其运算。 下页 第二章教学要求： 1．了解n维向量的概念。 2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关 向量组线性相关、线性无关的重要结论。 3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大线性无关组及秩。 4 ．了解向量组等价的概念，了解向量组 的秩与矩阵秩的关系。 重要结论2 重要结论1 下页 1．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非 齐次线性方程组有解的充分必要条件。 2．理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念及 求法。 3．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 4．掌握用行初等变换求非齐次线性方程组通解的方法。 第四章 线性方程组 第三章教学要求： 下页 初等 行变换 确定方程组的约束未知量和自由未知量方法示意图 下页 对应的变量为约束未知量(r个) 对应的变量为自由未知量(n-r个） 求解非齐次线性方程组流程图 下页 增广矩阵(Ab) 阶梯形矩阵B r(Ab)=r(A) 方程组无解 行最简形矩阵C 确定自由未知量及约 束未知量,给出一般解 求AX=o的基础解系 写出通解 初等行变换 N Y r(Ab)=n 唯一解 初等行变换 Y N 求AX=b的一个特解 第四章教学要求： 1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。 2．了解相似矩阵的概念、性质及掌握矩阵可相 似对角化的充分必要条件。 3．掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的 方法。 结论 4．了解内积的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特 正交化方法。向量的单位化等。 下页 5．掌握二次型 及其矩阵表示，了解二次型秩的概念， 了解二次型秩的标准形、规范形的概念，了解正、负 惯性指标（数）。 6．会判定二次型和对应矩阵的正定性等。 第四章教学要求： 下页 判别n元实二次型正定的充要条件是： 1）A是正定矩阵 2）f 的正惯性指数为 n 3）f 的 规范形为 4）f 的 标准形 下页 7）实对称矩阵A的n个特征值 全大于零。 8) n 阶实对称矩阵A正定的充要条件是A的各阶顺序主子式都大于零。 结束 充要条件 1 线性相关 一般情况 当向量个数＝向量维数 相应的齐次线性方程组 x1a1+x2a2+…+xmam＝o 有非零解 系数行列式 D＝0 线性无关 相应的齐次线性方程组 x1a1+x2a2+…+xmam＝o 只有唯一零解 系数行列式 D≠0 下页 充要条件 2 线性相关 其中至少有一个向量可以由 其余 m -1 个向量线性表示 线性无关 其中每一个向量都不能 由其余 m -1 个向量线性表示 下页 部分 与 整体 高维 与低维 向量个数 与 维数 线性相关 部分相关 = 整体相关 高维相关 = 低维相关 若向量组中 向量个数n ＞ 向量维数m 必线性相关 线性无关 整体无关 = 部分无关 低维无关 = 高维无关 R n 中，任一无关组 向量个数m≤ 向量维数 n 下页 向量组 a1 , a2 ,···, am 线性无关，而添加 β 形成的向量组 a1 , a2 ,···, am ,β 线性相关， 则 β 可由 a1 , a2 ,···, am 线性表示，且表示唯一。 结论1结束 下页 设向量组 a1，a2，??? ，ar 线性无关，且可由b1，b2，??? ，bs 线性表示，则有r≤s. 计算问题 1）怎样求矩阵 A 的秩？------ 行、列 则 秩（A）＝ 行阶梯形矩阵中非零行的行数 －－最常用 下页 2）怎样求向量组