大学高数第一章_ 函数和极限课件.pptx

医用高等数学教师：杜晓曦 电话第1章 函数和极限1.1 函数1.1.1函数的概念关于函数定义的几点说明1、函数相同的条件两个函数相同的条件是定义域和对应规则均相同。2、函数定义域的规定函数的定义域必须满足实际意义，在不考虑函数的实际意义时，函数的定义域是使函数表达式有意义的一切实数。3、函数的表示方法函数最常用的表示方法为公式法，图像法、表格法函数的常用表示方法1、公式法2、图像法例1-1：在出生1-6个月期间内，正常婴儿的体重近似满足以下关系式：例1-2：监护仪记录了某患者一段时间内体温 的变化曲线，如图1-1，对于这段时间的任意时刻 都能读出患者的体温 的值。3、表格法例1-3：表格1-1统计记录了某地区某年1-12月中当地流行性出血热的发病率。3.函数的奇偶性4.函数的周期性5.函数的有界性1.1.3复合函数类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数。邻域的概念1.1.4 初等函数课后作业:复习基本初等函数的性质、定义域、图像等特征1、基本初等函数（basic elementary function）常函数基本性质解析式:定义域:实数集R幂函数基本性质解析式:定义域:必须视常数 的取值而定，若 为分数时，通常还要根据其分母的奇偶来决定函数的定义域。图像特征:所有幂函数必经过点(1,1)幂函数图像幂函数图像指数函数基本性质解析式:基本特征:定义域为实数集R，值域为(0,+∞)，函数图像必经过点(0,1)对数函数基本性质解析式:基本特征:定义域为(0,+∞)，值域为实数集R，图像必经过点(0,1)正弦、余弦函数基本性质解析式:基本特征:定义域为实数集R，值域为[-1,1]，最小正周期T为正切、余切函数基本性质解析式:基本性质:正切函数定义域为,余切函数定义域为 ，二者周期T均为 ，值域均为(- ∞,+ ∞) ,互为倒数。正切、余切函数基本图像正切函数图像片段余切函数图像片段是初等函数。2、初等函数定义1.3 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。例如： 1.1.5 分段函数定义1.4 在自变量的不同变化范围中，对应规律用不同式子来表示的函数，称为分段函数。说明：分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数。如以下函数都是分段函数：1.2 极 限（重点.难点）1.2.1极限的概念实例yx也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在 注意：定理省略了具体的极限过程，包括和 且适用于有限个函数的情形。1.2.2 极限的四则运算例 求解：例 求 （ 为常数）可作为常用公式直接使用 （ 为常数）可作为常用公式直接使用1.2.3 两个重要极限1.型:2.型:或两个重要极限应用1.2.4 无穷小量与无穷大量定义1.7 以零为极限的变量称为无穷小量。1、一个变量是不是无穷小量，要看其极限过程。2、无穷小量实质是其绝对值无限小的量，而不是其本身值的无限小。定义1.8 函数在自变量的某个变化过程中，其绝对值无限增大的量称为无穷大。 关于无穷小、无穷大的几点说明1、无论是无穷小还是无穷大，都与自变量的变化过程密切相关，同一个函数，自变量的变化过程不同，函数的变化趋势也不一样。如：关于无穷小的相关定理3、无穷小的比较与阶补充:等价无穷小的重要应用1.3 函数的连续性函数的间断实例函数的连续实例函数连续几何特征:函数图像在某点或区间上不间断。一、 函数连续的概念二、 函数连续性的定义函数增量表达式图11、函数增量的概念2、关于函数连续性的两个定义函数在 点连续的充要条件是在该点既左连续也右连续。函数连续的等价判定条件函数在区间上的连续 闭区间上连续函数的性质 函数的间断点函数间断点的分类定义1.1 设是非空数集，对于集合中的任意一个数，在集合中均有确定值与其对应，则称是的函数，记为： ，其中称为自变量，称为因变量，其中，集合称为定义域，集合称为值域。如函数的定义域关于原点对称，且对于任意，均有：，则称该函数在其定义域内是偶函数；若是，则称该函数在其定义域内是奇函数；性质：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称。思考：函数的奇偶性2、趋近于一个常数，记为极限用于反映函数的自变量在某个变化过程中，其对应的函数值的变化趋势。1、的绝对值无限增大，记为对于函数，其自变量的变化过程主要分为两类：几何意义：表示随着的增大，曲线与直线越来越接近。1、时的极限特别地，若此时函数值不是趋近于常数，则称此时函数极限不存在记为：定义1.5如果自变量的绝对值无限增大，函数无限趋近于一个常数，则称常数为函数在当时的极限，记为：或（当时