概率论与数理统计215随机变量函数的分布课件.ppt

概率论 概率论 第2章 随机变量及其分布 第五节 随机变量的函数的分布 问题的提出 离散型随机变量的函数的分布 连续型随机变量的函数的分布 小结 布置作业 一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 求截面面积 A= 的分布. 比如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 在比如 ，已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布， 求功率 W=V2/R ( R 为电阻）的分布等. 设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？ 下面进行讨论. 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. 二、离散型随机变量函数的分布 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率. 例1 设X 求 Y= 2X + 3 的概率函数. ～ 0.2 0.5 0.3 pk 1 2 5 X 故 Y ～ 0.2 0.5 0.3 pk 5 7 13 X 如果g ( x k) 中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可. 一般地，若X是离散型 r.v ，X 的分布律为 则 Y=g(X) P1 p2 ··· pn pk x1 x2 ··· xn X ～ p1 p2 ··· pn pk g(x1) g(x2) ··· g(xn) X 则 Y=X2 的分布律为： 0.3 0.6 0.1 pk -1 0 1 X 0.6 0.4 pk 0 1 Y 三、连续型随机变量函数的分布 解 设Y的分布函数为 FY(y)， 例2 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度. FY(y)=P{ Y y } = P {2X+8 y } =P{ X } = FX( ) 于是Y 的密度函数 故 注意到 0 x 4 时， 即 8 y 16 时， 此时 Y=2X+8 例3 设 X 具有概率密度 , 求 Y=X2 的概率密度. 当 y0 时, 注意到 Y=X2 0 ，故当 y 0 时， . 解 设Y 和 X 的分布函数分别为 和 ， 则 Y=X2 的概率密度为： 求导可得 若 从上述两例中可以看到，在求P{Y≤y} 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X 的不等式 . 例如，用 代替 {2X+8 ≤ y } { X } 用 代替{ X2 ≤ y } 这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率. 这是求r.v的函数的分布的一种常用方法. 例4 设随机变量X的概率密度为 求 Y = sinX 的概率密度. 当 y 0 时, 当 y 1时, 当 时 故 解 注意到, 解 当 0 y 1 时, 例4 设随机变量 X 的概率密度为 求 Y = sinX 的概率密度. =P{0 X arcsiny} +P{ - arcsiny X } 而 求导得: 例5 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数, 证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布. 又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增. 证明 设 Y 的分布函数是 G(y) , 于是 对 y 1 , G (y) = 1; 对 y 0 , G (y) = 0; 由于 对0≤y≤1, G(y)=P{Y≤ y} =P{F(X)≤ y} =P{X ≤ (y)} =F( (y))= y 即Y的分布函数是 求导得Y的密度函数 可见, Y 在[0,1]上服从的均匀分布. 本例的结论可应用在在计算机模拟中 下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 . 其中， x=h (y)