有趣的几何课件.ppt

拓扑学是研究图形经过拓扑变换后的不变性质的学科。这里的拓扑变换形象的说就是一种既不撕破、也不黏合、但允许将图形伸缩和弯曲的变换。上面三组图形从拓扑变换角度来看，它们分别是“等价”的。然而，在初等几何学中，这些图形的形状、面积、周长等都是不相同的。 如果图形X通过弯曲、伸缩，而没有撕裂也没有黏合变形为Y，则称两个图X和Y是拓扑等价或同胚。通常互相同胚的图形被看做同一种图形。 简单曲面上的任一闭曲线总把它分割成两部分. 简单闭曲面把空间分成两部分即内部和外部，且以该曲面为这两部分的公共边界。另外这些曲面中的每一个都有两侧：外侧和内侧，这种双侧性在同胚下也是不变的。 单侧曲面——莫比乌斯带 1858年德国数学家莫比乌斯（1790-1868）有一个惊人的发现：存在只有一侧的曲面。 是否存在单侧闭曲面呢？ 单侧闭曲面 菲利克斯·克莱因 (1849年4月25日—1925年6月22日) 在1882年，著名德国数学家菲立克斯·克 莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面。 三、拓扑性质与拓扑不变量 如果几何图形A某些性质或量在每一个拓扑变换下都保持不变，就称之为拓扑性质（即拓扑不变性）或拓扑不变量。例如单侧性、双侧性都是最简单的拓扑性质，而欧拉多面体公式中的数（欧拉示性数）则是拓扑不变量。 这里列举一些最基本而又重要的拓扑性质和拓扑不变量。 1、连通性及其重数 如果图形X中任意两点p与q，都能用X中一条道路连接，则称X是联通的（更确切的说是道路联通）。 图形中任一条封闭曲线都能连续的“收缩”成图形中一点，具有这种性质的图形称为单连通区域。不是单连通的区域称为多连通区域。 如果图形必须做n-1次彼此不交的、从边界到边界的切割，才能把给定的多连通区域D化为单连通区域，则称D为n重连通的。平面上一个区域的连通性重数是这个区域的一个重要的拓扑不变量。 对空间区域C ，如果C内任一闭曲面所围成的区域全属于C，则称C是空间二维单连通区域；如果C 内任一闭曲线总可以张一片完全属于C 的曲面，则称C为空间一维单连通区域。 2、亏格 定义：若曲面中最多可画出n条闭和曲线同时不将曲面分开，则称该曲面亏格为n。亏格是二维曲面最典型的拓扑不变量。 以实的闭曲面为例，亏格 g 就是曲面上洞眼的个数.比如 　　 球面没有洞，故g=0; 环面有一个洞，故g=1。 如果两个闭曲面有相同的亏格，则可以把其中一个连续的变为另一个，所以从拓扑的观点来看，一个闭曲面的亏格完全刻画了这个闭曲面的特征。 3、何为不动点 张景中院士曾通俗的讲： 设想把一根橡皮条拉长，拉长到1米，两端固定在一根米尺的两端。米尺上是有刻度的：1厘米，2厘米，……于是，可以在橡皮条上也画上记号。橡皮条上的每个点对应一个数x。X在0和100之间。手一松，橡皮条自然会缩短，把缩短了的橡皮条仍然放在尺子上，在按照尺子上的刻度在每个点做记号y，y与原来的x就对应起来，记缩短变幻为f,y=f(x). 从拉长到缩短，橡皮条上的每个点的位置都经历了一次变化，一个运动，从x变到y。这个运动可能很不规则，很难掌握。但是，数学家知道有一件事是确凿无疑的——橡皮条上至少有一个点，它的位置没有变化！ 这就是线段上的不定点定理。 吹 气 球 如果球面上有一些花纹包括有圆形花纹等，把它吹胀了，只要不破，虽然花纹的形状有变化，如圆可能变成椭圆，其花纹的长度、面积、共线性等都会改变，但气球和吹胀的气球面上的花纹之间仍有一一对应关系并且邻近的点仍变成邻近的点，这样的变换便是拓扑变换或同胚。 如果在圆的内部画一点，不管你怎么拉或吹胀这一气球，点总是在圆的内部，这便是拓扑学的一种简单的不变性质。 以上现象显示出几何图形的一类新的几何性质。这类性质与几何图形的大小、形状以及所含线段的曲直等等都无关，他们不能用欧氏几何的方法来处理，它们的特点是：在“弹性变形”下保持不变，研究这类新问题的几何学，欧拉称之为“位置几何学”，人们通俗地把它叫做“橡皮几何学”。后来，这门数学分支被正式命名为“拓扑学” 拓扑［topology］，原意暗指和地形、地势相类似或有关的学科，曾译为形势几何学、连续几何学。1956年《数学名词》确定译为拓扑学，是按音直译的。 一、拓扑学的早期发展 有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 多面体的欧拉定理 四色问题 哥尼斯堡七桥问题 “讨论长短