《金版新学案》2012高三数学一轮复习第3章三角函数第8课时三角形中的几何计算.解三角形的实际应用举例精品课件文北师大版.ppt

第8课时　三角形中的几何计算、 解三角形的实际应用举例 1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角，在水平线 的角叫俯角(如图①)． 2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． 【思考探究】　1.仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示：　三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． 【思考探究】　2.如何用方位角、方向角确定一点的位置？ 提示：　利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置． 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是(　　) A．α＞β　　　　　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析：　根据仰角与俯角的含义，画图即可得知． 答案：　B 2．若点A在点B的北偏西30°，则B点在A点的(　　) A．西偏北30°　　　　　　　　　B．西偏北60° C．南偏东30° D．东偏南30° 解析：　如图，可知B在点A的南偏东30°或东偏南60°. 4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile. 5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为________m. 解析：　如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求宽度，在△ABC中， ∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120 m. 在Rt△ACD中， CD＝ACsin∠CAD＝120sin 30°＝60(m)， 因此这条河宽为60 m. 答案：　60 　以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之． 如右图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β. (1)证明：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC＝DC，求β的值． 解析：　(1)证明：∵AB＝AD， 则∠ADB＝β，∴∠C＝β－α. 又∠B＋∠C＝90°， 即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α， cos 2β＝－sin α，即cos 2β＋sin α＝0.　　① 【变式训练】　1.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________． 解析：　在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos ∠BDA， 即142＝x2＋102－2·10x·cos 60°， 整理得x2－10x－96＝0， 求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决． 如图，测量河对岸的塔形建筑AB，A为塔的顶端，B为塔的底端，河两岸的地面上任意一点与塔底端B处在同一海拔水平面上，现给你一架测角仪(可以测量仰角、俯角和视角)，再给你一把尺子(可以测量地面上两点间距离)，图中给出的是在一侧河岸地面C点测得仰角∠ACB＝α，请设计一种测量塔建筑高度AB的方法(其中测角仪支架高度忽略不计，计算结果可用测量数据所设字母表示)． 【变式训练】　3.A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD. 测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值．如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了． 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(