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谈数形结合思想在数学解题中应用 　　 【摘 要】数形结合思想是通过数、形间的对应与互助来解决数学问题的思想，数形结合思想不但广泛地应用于数学解题中，而且渗透于学习新知识和运用知识解决问题的过程中。本文阐述了数形结合的概念，同时通过实例讨论了数形结合思想在数学解题中的应用。 　　 【关键词】数学教学 数形结合 教学改革 　　 【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）09－0132－02 　　 　　 随着教学改革的不断深入，针对数学教学中如何渗透数学思想一直是一个备受关注的话题。数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本思想，是对数学规律的理解认识。掌握这些思想可以为学习数学课程打下良好的基础。关于数学思想归纳起来大致有以下几种：方程思想、分类思想、数形结合思想、整体思想、函数思想、化归思想等。数形结合思想被广泛应用于数学教学中，注重数形结合思想的培养是提高学生数学素质的一个重要途径。“数”主要指实数、复数或代数对象及其关系，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物。“形”主要是指几何图形，属于形象思维的范畴，是人的右脑思维的产物。数形结合能使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存，彼此激发，全面、协调、深入地发展人的思维能力。数形结合思想就是把问题的数量关系和空间图形结合起来考查的思想方法。根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究。 　　 一 数形结合思想在导数中的应用 　　 近年的高考试卷中，每年都有导数题目，并且必有考查利用导数研究函数的极值、单调区间、实际应用等的题目，学生在学习和解答时，大多十分茫然，不知从何下手。在教学过程中，解决此类问题是将抽象化为直观，时刻给学生渗透和灌输数形结合思想会取得很好的效果。 　　 例1，设f（x）在（－∞，＋∞）内连续，f ′（x）的图形如图1，则f（x）有（ ）。 　　 A、一个极小值点和两个极大值点； 　　 B、两个极小值点和一个极大值点； 　　 C、两个极小值点和两个极大值点； 　　 D、三个极小值点和一个极大值点。 　　 分析：该题中要判断的是f（x）取极大值和极小值的情况，所给条件是f ′（x）的图形，这就需要利用数形结合思想去分析、推理、判断。根据f ′（x）的图像在x轴的上方或下方，确定f ′（x）在各个给定点左右两侧是取正值或取负值，进而确定f ′（x）的符号，最后确定给定的点是极大值或极小值。 　　 解：因为f（x）在（－∞，＋∞）内连续，所以可以想象f（x）的图形是一条连续曲线。根据f ′（x）的图形，能确定f ′（x1）?f ′（x2）?f ′（x3）?0，即x1、x2、x3是f（x）的驻点，x?0是不可导点。这一步是由形确定数值，充分体现出数形结合的思想。再根据函数取极值的必要条件知x1，x2，x3和x?0可能是f（x）的极值点。利用f ′（x）的图形和x轴上、下方的位置关系，由形确定数值，可以看出： 　　 当x＜x1时，f ′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f ′（x）＜0；当x2＜x＜0时，f ′（x）＞0；当0＜x＜x3时，f ′（x）＜0；当x3＜x时，f ′（x）＞0。 　　 因此，x1和0是f（x）的极大值点，x2和x3是f（x）的极小值点，即答案C正确。 　　 二 数形结合思想在概率教学中的应用 　　 学习概率首先要学习事件间的关系（运算）等预备知识，而事件间的关系（运算）也很抽象，学生较难理解、掌握。这时运用数形结合思想借助图形就可以直观地看出这些关系（运算），从而较容易理解掌握。 　　 例2，互斥事件与互逆事件的区别与关系：互斥事件的定义给出后学生理解不深，基本停留在字面上，如果运用数形结合思想借助图2讲解就很容易。从图2可直观地看出事件A与B没有任何交叉的部分，从而使学生理解到它们是不能同时发生的，这种情况就是事件间的互斥关系。而互逆事件可借助图3观察理解，从图3中可直观看到A与不仅没有任何交叉部分（即互斥），而且它们的和是基本事件Ω即A＋＝Ω，从而理解事件间的互逆关系。并可认识到互逆一定互斥；互斥却不一定互逆。 　　 　　 　　 例3，完备事件组：完备事件组的定义给出后，90%以上的学生这时并不清楚什么是完备事件组，对此，运用数形结合思想借助图4讲解后，80%的学生就能明白完备事件组必须具备：（1）基本事件集Ω中的多个事件中每两个都没有交叉部分（即两两互斥）；（2）多个事件的和是基本事件集Ω，即A1＋A2＋…＋An＝Ω。满足上述两个条件的事件A1，A2，…，An就构成一个完备事件组，这样把这个比较抽象复杂、难以理解的问题图形化、直观化、简单化了。 　　 　　 三 数形结合思想