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转化思想在立体几何中应用
转化思想在立体几何中应用
立体几何是高中阶段的重要内容,也是高考的必考内容。针对同学们在解立体几何题时常常遇到的困难:一是难以很清晰地想象出题目中给出的空间图形;二是难以很好的将题设的条件与所学知识合理整合并进行有效的逻辑推理;三是难以找到合理的运算方法,解题常半途而废。笔者给你支招,教你如何转化,以克敌制胜。
一、 利用“基本模型”,实现转化
【命题分析】正方体与长方体是立体几何中最常见的几何体,其包含了所有的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及特定的数量关系,有着立体几何中的“百宝箱”的美誉。出题者往往以它们为载体出题或题目中隐含着正方体、长方体模型。所以利用好正方体与长方体这两个“基本模型”进行转化,可使问题更直观、简单化。
【例1】已知a,b为异面直线,α是一个平面,则a,b在α上的射影有可能是
①两条平行线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.
在上面结论中,正确结论的编号是(写出所以正确结论的编号).
解析题设中的条件比较抽象,若直接想象有难度,故考虑正方体模型.如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行;A1D与AB1在平面ABCD上的射影互相垂直;A1D与BB1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点;③显然错误,故填①②④.
点拨正方体中包含了所有的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,故涉及到复杂的线、面的位置关系判定时,考虑正方体模型可使问题直观,简单化。
【例2】已知三棱锥PABC,PA=BC=234,PB=AC=10,PC=AB=241,则三棱锥PABC的体积为.
解析若按常规方法利用体积公式求解,底面积可用海伦公式求解,但顶点到底面的高难以求出.考虑到该三棱锥的三对对棱两两相等,以及长方体的对面对角线相等,联想长方体模型.如图2,设PE=x,EB=y,EA=z,则由已知得:
x2+y2=100,
x2+z2=136,
y2+z2=164解得x=6,
y=8,
z=10,
从而知VPABC=VAEBGFPDC-VPAEB-VCABG-VBPDC-VAFPC=VAEBGFPDC-4VPAEB=160.
点拨正方体或长方体中可构造出一些特殊的三棱锥或四棱锥,如正四面体、三侧棱两两垂直的三棱锥等等,碰到这些问题时,利用正方体或长方体这两个“基本模型”,往往可使我们在思路上拨开云雾见晴天。
二、 利用“降维思维”,实现转化
【命题分析】解立体几何问题的一个基本原则就是空间问题平面化,三维的空间向二维的平面转化,即为“降维思想”。这里,也蕴含着丰富的数学问题,围绕这样的问题,命制高考数学试题,应当引起我们的高度重视。
【例3】如图3(1),设正三棱锥SABC的底面边长为b,侧棱长为2b,E,H分别是SB,SC上的动点,求线段和AE+EH+HA的最小值.
解析如图3(2),在三棱锥SABC中处理困难,利用侧面展开图化归到平面图形中研究是处理这个问题的关键.从侧面展开图中可看出,当A,E,H,A1四点共线时,AE+EH+HA取得最小值.设∠ASB=θ,则易得sinθ2=b22b=14,sin32θ=sinθ+θ2=3sinθ2-4sin3θ2=1116,
所以AE+EH+HA的最小值为2#8226;2b#8226;sin32θ=114b.
点拨空间多面体、旋转体表面上两点间的最短距离问题,通常采用“降维思想”,转化到其侧面展开图上去研究。
【例4】在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠ABP=30°,AB=BC,求异面直线AB与PC所成角的余弦值.
解析直线AB与PC分别在不同的两个平面ABP,APC中,我们无法去度量,故通过平移的方法进行转化,将分散在不同平面的直线转移到同一平面内,利用平面几何的知识解决处理.如图4,分别取线段PB,AC,BC,AB的中点D,E,F,G,
则DF∥PC,EF∥AB,DG∥AP,由题设可得EF⊥DE.不妨设AB与PC所成角为θ,|AP|=a,计算可得:
|DE|=a,|EF|=32a,|DF|=72a,
所以cosθ=cos∠DFE=|EF||DF|=217.
点拨本题将异面直线所成的角的计算,转化为平面角的计算是解题的关键。
三、 利用“逆向思维”,巧作辅助平面,实现转化
【命题分析】垂直或平行的证明很好的考查了学生的逻辑推理能力和空间想象能力,另外,新课标中,由于文科只学立几初步,所以以垂直或平行为主的证明会是高考立体几何大题的热门考点。
【例5】如图5,在正方体ABCD
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