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高考中离心率问题研究 　　在新课程中，圆锥曲线的离心率问题是高考中常考的问题，通常有两类：一是求圆锥曲线的离心率的值；二是求圆锥曲线的离心率的取值范围.由于它涉及圆锥曲线较多的基本量，方程与曲线问题，方程组与不等式的求解问题等，学生常常感到难以下手，不好把握.下面就通过近几年的一些高考题的分析、研究和求解，总结出一般的解题策略和方法. 　　一、 求圆锥曲线离心率的值. 　　1. 用定义求解离心率： 　　例1 （2011福建理7）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF?1|∶|F?1F?2|∶|PF?2|=4∶3∶2，则曲线r的离心率等于（ ） 　　A． 12或32 　　B． 23或2 　　C． 12或2 　　D． 23或32 　　解析：不妨设|PF?1|=4，|F?1F?2|=3，|PF?2|=2 　　分类讨论：若圆锥曲线r是椭圆，则|PF?1|+|PF?2|=2a=6，|F?1F?2|=2c=3，∴ e=ca=12；若圆锥曲线r是双曲线，则|PF?1|-|PF?2|=2a=2，|F?1F?2|=2c=3，∴ e=ca=32，故选A. 　　2. 用基本量计算求解离心率： 　　例２ 若双曲线x?2a?2-y?2b?2=1的两个焦点到一条准线的距离之比为3∶2,则双曲线的离心率是（ ） 　　A. 3 　　B. 5 　　C. 3 　　D. 5 　　解析：由题意得a?2c+c∶c-a?2c=3∶2化简得5a?2=c?2，∴ e?2=5，e=5 　　在解析几何中对圆锥曲线的研究思想就是用代数方法研究几何问题，因此很多题型的设计都在围绕这一点展开，重点体现着数形结合在解题中的应用.下面我们就来看： 　　3. 用数形结合思想解离心率： 　　（1） 直角三角形的使用： 　　例3 （2008江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆x?2a?2+y?2b?2=1(a＞b＞0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点a?2c，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e=_________． 　　解析：由几何性质得OP=a?2c=2OK=2a，∴ e=22 　　（3） 综合应用： 　　例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：x?2a?2+y?2b?2=1（a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于_________． 　　解析：此题应用了椭圆的对称性，由四边形OABC为平行四边形知B，C点纵坐标相同，故横坐标互为相反数，又∵ OA=BC=a，∴ B点的横坐标为-a2，如图，在Rt△ABD中，AD=a2，BD=a2?tan30°=36a 　　将B-a2，36a代入椭圆方程得e=223 　　4. 结合向量知识解离心率： 　　例5 （2010辽宁文数）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） 　　A. 2 　　B. 3 　　C. 3+12 　　D. 5+12 　　解析：选D. 不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：x?2a?2-y?2b?2=1（a＞0，b＞0），则一个焦点为F(c,0)，B（0,b） 　　一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：-bc，∴ ba?-bc=-1，∴ b?2=ac c?2-a?2-ac=0，解得e=ca=5+12. 　　类似的有:（2010广东文数）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） 　　A. 45 　　B. 35 　　C. 25 　　D. 15 　　解：设长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则2a+2c=4b,即a+c=2b?（a+c）?2=4b?2=4(a?2-c?2)，整理得5c?2+2ac-3a?2=0，即5e?2+2e-3=0?e=35或e=-1（舍），选B 　　二、 求圆锥曲线离心率的范围. 　　1. 利用定义及构成三角形的边长的范围要求： 　　例6 （2008福建卷12）双曲线x?2a?2-y?2b?2=1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F?1、F?2，若P为其上一点，且|PF?1|=2|PF?2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ） 　　A. （1，3） 　　B. （1，3） 　　C. （3，+∞） 　　D. ［3，+∞］ 　　解析：∵ PF?1-PF?2=2a，PF?1=2PF?2，∴ PF?1=4a，PF?2=2a 　　由三角形特征知：2a+2c＞4a? 　　4a+2a＞2c?e∈（1，3） 　　2. 利用圆锥曲线的性质： 　　例7 （2008湖南卷10）双曲线x?2a?2-y?2b?2=1