高考数学应用问题命题方向与破解策略.docVIP

高考数学应用问题命题方向与破解策略 　　 以实际问题为背景，通过建立数学模型来解决问题，考查数学应用意识和实践创新能力，已成为新课程高考命题的一个亮点.下面展望其命题方向和破解策略.? 　　一、 命题方向分析? 　　根据近几年应用问题考查特点、题型演化与发展走向，未来几年应用性试题的命制可能会有如下特点：（1） 问题设计入口宽敞、方法多样、层次清楚，具有明显的梯度；（2） 试题表述科学规范、语言简洁、长度适中，无需在读题上花费大量时间；（3） 考查的重点是基础知识、基本思想、核心方法，能在公平的背景下展示真实的水平. 以下几类应用问题将是高考命题的重点和热点.? 　　1. 函数模型的应用问题? 　　函数问题老生常谈，它可以和方程、不等式以及导数等知识有机地结合在一起，特别是将导数作为研究函数的有力工具运用到解决实际问题中去，使老树开出新花，这是应用问题备考中一个不可忽视的关注点. 　　 图1 　　?例1? 某地政府为科技兴市，欲将如图1所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知曲边四边形ABCO，且AB=BC=2AO=4 ?km?，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1 ?km?2?）. 　　●解●析以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系如图1，依题意可设抛物线方程为y?2=2px（p＞0），可知C（4，2），易求得曲线段OC的方程为y?2=x（0≤x≤4，?y≥?0）.? 　　设P（y?2，y）（0≤y＜2）是曲线段OC上的任意一点，则在矩形PQBN中，PQ=2+y，PN=4-y?2，所以工业园区面积S=PQ?PN=（2+y）（4-y?2）=-y?3-2y?2+4y+8，故S′=-3y?2-4y+4．令S′=0，得y=23（舍去y=-2）.? 　　当y∈0,23时，S′＞0，S是关于y的增函数；当y∈23,2时，S′＜0，S是关于y的减函数. ? 　　所以y=23时，S取到极大值，此时PQ=2+y=83，PN=4-y?2=329，故S=83×329=25627≈9.5.又y=0时S=8，所以S???max??=9.5（?km?2）?.? 　　所以把工业园区规划成长为329???km?，宽为83 ?km?的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为9.5 ?km?2.?? 　　2. 数列模型的???用问题? 　　以数列为载体、通过建立数列模型来解决实际问题，也是高考数学命题的重要内容. 　　?例2? 在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2 009根.现将它们堆放成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层的根数多1），且不少于七层.? 　　（1） 共有几种不同的方案？? 　　（2） 已知每根圆钢的直径为10 ?cm?，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4 ?m?，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？ 　　●解●析（1） 当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层，从上到下每层圆钢的根数是以x为首项、1为公差的等差数列，从而nx+?12n（n-?1）=2 009，即n（2x+n-1）=2×?2 009=?2×7×7×41.因为n与2x+n-1的奇偶性也不同，且n＜2x+n-1，从而有n=7，?2x+n-1=574，或n=14，?2x+n-1=287，或n=41，?2x+n-1=98，或n=49，?2x+n-1=82，所以共有4种方案可供选择.? 　　 图2 　　（2） 因为层数越多，最下层堆放得越少，占地面积也越小，所以由（1）知若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图2所示，腰长为???400 ?cm??，上、下底长分别为280 ?cm，680 cm，从而梯形之高为2003 cm，而2003+10+10＜400，所以符合条件.?? 　　若n=49，则x=17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图2所示，腰长?为480 cm，上、下底长分别为?160 cm?，640 cm，从而梯形之高为???2403 cm，?显然大于4 m，所以不符合条件，舍去.?? 　　综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地. ? 　　3. 三角模型的应用问题? 　　三角应用问题有可能异军突起，很可能将正弦定理、余弦定理、平面向量与三角函数等知识糅合在一起，一般难度不会太大，主要考查阅读理解、数学建模以及综合运用数学知识分析问题和解决实际问题的能力. 　　 图3 　　?例3? 如图3，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2 ?m?，斜坡的倾角为α0＜α＜?π?2