数值分析讲义（东北大学）习题选讲.pptVIP

5-9(2)利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值，其中 解 记 取p=1，q=2，则有 cos?=(1+t2)-1/2=0.7071, sin?=tcos?0.7071 类似地有 所以取 ?1?7.37228 ,?2?2.99991 ,?3?1.62781 5-10.设矩阵H=E-2xxT,向量x满足xTx=1,证明: (1)H为对称矩阵,即HT=H; (2)H为正交矩阵,即HTH=E; (3)H为对合矩阵,即H2=E. 证明 (1)因为HT=(E-2xxT)T=E-2xxT=H,故H对称. 6-1.当x=1,-1,2时,?(x)分别为0,-3,4,求?(x)的二次插值多项式p2(x). (2)因为HTH=(E-2xxT)T(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT=E,故H正定. (3)由(1)和(2)即得,H是对合矩阵. 六.习题6 (第180页) 解法一. 基函数法: p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)+4l2(x) 6-2.设l2(x)是以xk=x0+kh,k=0,1,2,3为插值节点的3次插值基函数,求 解法二. 待定系数法,设p2(x)=(x-1)(ax+b), 则有 p2(x)=-3l1(x)+4l2(x) 2(a-b)=-3, 2a+b=4 ,解得,a=5/6, b=7/3, 所以 p2(x)=1/6(x-1)(5x+14) 6-3.设l0(x),l1(x),…,ln(x)是以x0,x1,…,xn为节点的n次Lagrange插值基函数,求证: 解 证明 (1)记?(x)=xk,则yj=?(xj)=xjk,j=0,1,…,n.于是 6-4.设?(x)?C2[a,b],且?(a)=?(b)=0,证明 证明 以a,b为节点作?(x)的线性插值有L1(x)=0,故 (2)记?(t)=(t-x)k,则yj=?(xj)=(xj-x)k,j=0,1,…,n.于是 取t=x,则有 其中, |?(x)|=|?(x)-L1(x)| 6-5.利用y= 的近似值,并由误差公式给出误差界,同时与实际误差作比较. 解 由二次Lagrange插值得: 在x=100,121,144点的函数值 ,用插值方法求 实际误差： 6-8.?(x)=x5+4x4+3x+1,求差商?[20,21,…,25]和?[20, 21,…,26]. 解 ?[20,21,…,25]= ?[20,21,…,26]= 0 6-9.设?(x)=x5+x3+1, 取x0=-1,x1=-0.8,x2=0,x3=0.5, x4=1,作出?(x)关于x0,x1,x2,x3,x4的差商表,给出?(x)关于x0,x1,x2,x3的Newton插值多项式,并给出插值误差. 解 差商表为 -0.3 2.79 2.19 -4.752 -0.567 3.375 5.8016 1.0496 0.3125 3.6875 -1 0.16032 1 1.15625 3 x0=-1 x1=-0.8 x2=0 x3=0.5 x4=1 四阶差商 三阶差商 二阶差商 一阶差商 ?(xk) xk Newton插值多项式为: |R3(x)|=|?[-1,-0.8,0,0.5,x](x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| 6-10.设?(x)=x4+2x3+5, 在区间[-3,2]上, 对节点x0= -3,x1=-1,x2=1,x3=2,求出?(x)的分段三次Hermite插值多项式在每个小区间[xi,xi+1]上的表达式及误差公式. 解 在[-3,-1]上,由y0=32,y1=4,y0?=-54,y1?=2,h=2,得 N3(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(x+0.8) +2.79(x+1)(x+0.8)x ?5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| H3(x)=32?0(x)+4?1(x)-54?0(x)+2?1(x) 令?0(x)=(x+1)2(ax+b),可得a=1/4,b=1,所以 ?0(x)=(x+1)2(x+4)/4 同理可得: ?0(x)=(x