新步步高《学案导学与随堂笔记》2016—2017学年高一数学人教B版必修3课件：第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例.pptx

§1.3 中国古代数学中的算法案例;;1.了解中国古代数学中“更相减损之术”的算法，并能根据这些原理进行算法分析； 2.理解割圆术中蕴含的数学原理； 3.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质．;填要点·记疑点;2．割圆术的算法思想 刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值．用刘徽自己的话概括就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”;3．秦九韶算法 把一个n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式： (…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0， 求多项式的值时，首先计算_____________一次多项式的值，即____________(v0＝an)，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即;;探要点·究所然;探究点一　求两个正整数最大公约数的算法;以两数中较大的数减去较小的数，即16－12＝4，以差数4和较小的数12构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即12－4＝8，继续这一过程，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数．整个操作如下：(16,12)→(4,12)→(4,8)→(4,4)．;例1　求78和36的最大公约数． 解　操作如下： (78,36)→(42,36)→(6,36)→(30,6)→(24,6)→(18,6)→(12,6)→(6,6)．所以最大公约数为6. 反思与感悟　用更相减损之术求最大公约数，运算简单，程序易编．;跟踪训练1　求98与63的最大公约数． 解　操作如下： (98,63)→(35,63)→(28,35)→(7,28)→(21,7)→(14,7)→(7,7)．所以98与63的最大公约数为7.;思考2　(1)用更相减损之术可以求两个正整数的最大公约数，那么用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？ 答　用循环结构来构造算法，算法步骤如下： S1　输入两个正整数a，b(a≥b)； S2　如果a≠b，则执行S3，否则转到S5； S3　将a－b的值赋予r； S4　若br，则把b赋予a，把r赋予b，否则把r赋予a，重新执行S2； S5　输出最大公约数b.;(2)该算法对应的程序如何表述？ 答　程序：;思考3　古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是辗转相除法：用较大的数除以较???的数所得的余数和较小的数构成的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数．根据这个算法，你能写出求288和123的最大公约数的操作过程吗？ 答　(288,123)→(42,123)→(42,39)→(3,39)，39能被3除尽，所以3就是最大公约数．;探究点二　割圆术 问题　魏晋时期数学家刘徽说过：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，即从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值．;思考1　阅读教材P28～P29，归纳求圆周率的近似值的步骤． 答　步骤如下： 第一，从半径为1的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6. 第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形……的面积，到一定的边数(设为2m)为止，得到一列递增的数S6，S12，S24，…，S2m.;第三，在第二步中各正n边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积(S2n－Sn)与相应的正n边形的面积S2n相加，得S2n＋(S2n－Sn)，这样又得到一列递增数：S12＋(S12－S6)，S24＋(S24－S12)，S48＋(S48－S24)，…，S2m＋(S2m－Sm)． 第四，圆面积S满足不等式S2mSS2m＋(S2m－Sm)． 估计S的近似值，即圆周率的近似值．;思考2　怎样用Scilab语言写出求π的不足近似值的程序？ 答　程序如下：;探究点三　秦九韶算法的基本思想;思考2　我们把多项式变形为f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x＋1，再统计一下计算当x＝5时的计算的种类及计算次数分别是什么？ 答　从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果．;思考3　思考2使用的方法就是秦九韶算法，据此你认为怎样利用秦九韶算法把求n次多项式f(x)的值转化为求n个一次多项式的值？ 答　f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋an－2xn－2＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋an－2xn－3＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝…… ＝(…((an