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第六章 二次型与二次曲面
;2;3;4;5; 例1 设二次型 试写出二次型 的矩阵.（ 为三元二次型）
; 例２ 将二次型 写成矩阵形式.
解： 是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵
; 例３ 设 ，试写出以 为矩阵的二次型.
;6.1.2 矩阵合同的概念
1．定义（合同）
二个 阶方阵 和 ，若存在可逆阵 ，使得
则称 与 合同（Congruent）记成 .
矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很相似，也是 方阵之间的一 种等价关系. 即
; 3．（二次型的变换）合同二次型
设二次型 ，经可逆线性变换 ， 可逆
其中 ，即 与 合同， 仍是对称阵.;6.1.3 化实二次型为标准形
1．标准二次型：只含有平方项的二次型
称为 元二次型的一个标准型.
; 1 用正交变换化实二次型为标准形
对于实二次型，最实用的方法是正交变换法，即所作的可逆线性变换中可逆矩阵 不只是可逆，还是正交矩阵. 这个正交阵的存在是由实对称矩阵的性质决定的，值得注意的是这种方法仅限于实二次型.
; 例5 用正交线性变换化实二次型为标准形.
解：
（1）二次型 的矩阵为
;所以得同解方程组为
得基础解系为 .
正交化：
; 单位化：
; 即
; 得正交阵
，
; 2 用配方法化二次型为标准形
如果不考虑正交变换，可以用可逆线性变换把二次型
化为标准形，得到标准形不是惟一的.
;
;
为可逆线性变换.
;21;6.2 正定实二次型
;性质2.1 设A和B合同，则A正定当且仅当B正定。
即合同的矩阵具有相同的正定性。
定理2.2 设有n元实二次型
则下列命题等价：
f(x1,x2,…xn)为正定二次型；
A的所有特征值都是正值；
A的秩和正惯性指数都是n；
A与单位矩阵E合同;
存在可逆矩阵P，使得A=PTP.
性质2.2 实正定矩阵A的行列式大于0.;定理2.2 实对称阵 为正定的 的各阶顺序主子式都大于零.
即
; 例题（正定二次型的判断）
例8 判别二次型 的正定性.
解 二次型的对应矩阵为
;
;例9 设 是 阶正定阵，证明 也正定.
;28
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