《线性代数与解析几何教学-华南理工》代数难题之二.docVIP

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代数难题2 9. 题目设n阶可逆矩阵A满足A=A,求A的特征值。 知识点特征值与特征向量 矩阵的行列式 解题解:因为A=A 所以AA=0 所以det(AA)=det[A(A-E)]=det(A)det(A-E)=0 A为可逆矩阵,所以det(A)≠0 所以det(AE)=0 所以A的特征值为1常见错误设存在λ,使Ax=λx成立 则 det(Ax)=det(A)det(x) =det(x)=det(x) (错误在于向量取行列式) 所以 有成立 又因为A=A det(A)=det(A) 即det(A)=0或det(A)=1 由于A为可逆矩阵,det(A)≠0det(A)=1 当n为奇数时,λ=1当n为偶数时,λ=1=E,试证A的特征值是1或-1. 10. 题目 设A是奇数阶正交矩阵,且det(A)=1,证明det(E-A)=0. 知识点 ①正交矩阵的定义:AA=E ②单位矩阵的性质:EA=AE=A E=E ③矩阵运算规律 ④转置矩阵的性质:(A+B)=A+B ⑤det(A)=det(A) ⑥det(AB)=det(A)det(B) ⑦det(-A)=(-1)det(A) 解题过程 ∵A是正交矩阵 ∴E-A= AA-A= AA-EA=( A-E)A ∵det(A)=1 ∴det(E-A)=det((A-E)A)=det(A-E)det(A)=det(A-E) ∵det(E-A)=det(E-A)=det(E-A) ∴det(A-E)= det(E-A)= det(-(A-E))= (-1) det(A-E) ∵n为奇数 ∴(-1)= -1 ∴det(A-E)=0 ∴det(E-A)=0 常见错误 ①误以为det(E-A)= det(E)- det(A),于是det(E-A)=1-det(A)=1-1=0 ②∵det(A)=1 ∴··…·=1(其中,,…,为A作初等变换变为上三角形后对角线上的元素). ∴det(E-A)=(1-)(1-…(1-). ∵det(E-A)=det((A-E)A)=det(A-E)det(A)=det(A-E) 且det(A-E)= (-1)(…(-1). ∴(1-)(1-…(1-)=(-1)(…(-1) = (-1)(1-)(1-…(1-) ∵n为奇数 ∴(-1)= -1 ∴(1-)(1)…(1-)=0 ∴det(E-A)=0 以上证法先把A变为上三角,再用E减去变化后的A,再求行列式,这是错误的。 相关例题 证明:若A为正交矩阵,则det(A)=±1. 11 题目 试就a,b的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。 (1) 知识点 线性方程组解的结构 解题过程 解:B= (1)当a—b0,且a0时,rank(B)=3,增广矩阵的秩也等于3,而且等于未知数的个数,故方程组(1)有唯一解。其解为: (2)当a-b=0,且a0时,rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2,秩小于未知数的个数,此时故方程组(1)有无穷多解。 其解可由,解得,代入第一个方程得到; 一般解为: (3)当a=0,b 为任意数, 此时增广矩阵可化为: 可见,rank(B)=2, 但增广矩阵的秩为3,所以方程组(1)无解, 常见错误 在讨论带参数的线性方程时,尽管初等变换结果正确,也会产生讨论不全的错误。 如,当ab时,就说原方程有唯一解,没有指出a0,当a=b时,就说原方程组有无穷多解,没有指出a=b0,等等。 相关例题 确定a,b的值,使下列方程组 有唯一解; 无解; 有无穷多解,并求出通解。 12. 题目 若线性无关,,其中全不为0. 证明线性无关. 知识点 向量线性相关 解题过程 证法一:(从定义出发) 设存在常数,使得 已知,代入上式,得 化为: 由题意知:线性无关 由定义,知线性无关 证毕 证法二:(由初等列变换,秩相等) 由于初等变换不改变矩阵的秩,所以由线性无关,知 的秩为3,所以秩也为3,推出线性无关 证法三:(反证法) 假设线性相关. 则存在不全为0的常数,使得 已知,代入上式,得 化为: (否则,由得) 即 线性相关, 与题目已知条件矛盾. 所以假设不成立, 即 线性无关. 13. 题目 设是的解且线性无关,,试证的任一解可表示为 , 其中 知识点 基础解系 方程组解的结构 解题过程 证明 由 因为 线性无关,所以

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