《线性代数与解析几何教学-华南理工》代数难题之二.docVIP

代数难题2 9. 题目设n阶可逆矩阵A满足A=A，求A的特征值。 知识点特征值与特征向量 矩阵的行列式 解题解：因为A=A 所以AA=0 所以det(AA)=det[A(A－E)]=det(A)det(A－E)=0 A为可逆矩阵，所以det(A)≠0 所以det(AE)=0 所以A的特征值为1常见错误设存在λ，使Ax=λx成立 则 det(Ax)=det(A)det(x) =det(x)=det(x) (错误在于向量取行列式) 所以 有成立 又因为A=A det(A)=det(A) 即det(A)=0或det(A)=1 由于A为可逆矩阵，det(A)≠0det(A)=1 当n为奇数时，λ=1当n为偶数时，λ=1=E，试证A的特征值是1或-1. 10. 题目 设A是奇数阶正交矩阵，且det(A)=1，证明det(E-A)=0. 知识点 ①正交矩阵的定义：AA=E ②单位矩阵的性质：EA=AE=A E=E ③矩阵运算规律 ④转置矩阵的性质：(A+B)=A+B ⑤det(A)=det(A) ⑥det(AB)=det(A)det(B) ⑦det(-A)=(-1)det(A) 解题过程 ∵A是正交矩阵 ∴E－A= AA－A= AA－EA=( A－E)A ∵det(A)=1 ∴det(E－A)=det((A－E)A)=det(A－E)det(A)=det(A－E) ∵det(E－A)=det(E－A)=det(E－A) ∴det(A－E)= det(E－A)= det(－(A－E))= (－1) det(A－E) ∵n为奇数 ∴(－1)= －1 ∴det(A－E)=0 ∴det(E－A)=0 常见错误 ①误以为det(E－A)= det(E)－ det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0 ②∵det(A)=1 ∴··…·=1(其中,,…,为A作初等变换变为上三角形后对角线上的元素). ∴det(E－A)=（1-）（1-…（1-）. ∵det(E-A)=det((A-E)A)=det(A-E)det(A)=det(A-E) 且det(A-E)= （-1）（…（-1）. ∴（1-）（1-…（1-）=（-1）（…（-1） = (-1)（1-）（1-…（1-） ∵n为奇数 ∴(－1)= －1 ∴（1－）（1）…（1－）=0 ∴det(E－A)=0 以上证法先把A变为上三角，再用E减去变化后的A，再求行列式，这是错误的。 相关例题 证明：若A为正交矩阵，则det(A)=±1. 11 题目 试就a,b的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。 （1） 知识点 线性方程组解的结构 解题过程 解：B= (1)当a—b0,且a0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于3，而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。其解为： (2)当a-b=0，且a0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2，秩小于未知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。 其解可由，解得，代入第一个方程得到； 一般解为： （3）当a=0，b 为任意数， 此时增广矩阵可化为： 可见，rank(B)=2, 但增广矩阵的秩为3，所以方程组（1）无解， 常见错误 在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。 如，当ab时，就说原方程有唯一解，没有指出a0，当a=b时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b0，等等。 相关例题 确定a,b的值，使下列方程组 有唯一解； 无解； 有无穷多解，并求出通解。 12. 题目 若线性无关，，其中全不为0. 证明线性无关. 知识点 向量线性相关 解题过程 证法一：（从定义出发） 设存在常数，使得 已知，代入上式，得 化为： 由题意知：线性无关 由定义，知线性无关 证毕 证法二：（由初等列变换，秩相等） 由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由线性无关，知 的秩为3，所以秩也为3，推出线性无关 证法三：（反证法） 假设线性相关. 则存在不全为0的常数，使得 已知，代入上式，得 化为： （否则，由得） 即 线性相关, 与题目已知条件矛盾. 所以假设不成立, 即 线性无关. 13. 题目 设是的解且线性无关，，试证的任一解可表示为 ， 其中 知识点 基础解系 方程组解的结构 解题过程 证明 由 因为 线性无关，所以