提公因式法教学设计一.docVIP

提公因式法 三、教学过程 引言：同学们在小学里学完整数的四则运算和应用题之后，就学习因数分解．因为通分和约分要直接应用质因数分解．在初中一年级，我们已经学习了整式．本学期，代数课先学习因式分解．因为这部分内容不仅在分式的通分和约分里有直接的应用，而且在解方程和各种式子的恒等变形等方面经常用到，希望同学们努力学好它． 从初中《代数》课本第二册(以下简称教科书)第2页上半部分的图，同学们可看出用字母表示分配律的等式 m(a+b+c)=ma+mb+mc ① 这个式子表明了两个因式相等所得的结果，结果是一个多项式，其中各项都含有一个公共的因式m． 把①式反过来写，就是 ma+mb+mc=m(a+b+c) ② 这个式子表明：如果一个多项式的各项都含有一个公共的因式m，那么这个多项式可化为因式m与另一个因式的积．这种把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． ①式是做整式乘法，②式是进行因式分解，由此可以看出因式分解正好与整式乘法相反，就是说，因式分解是整式乘法的逆变形． 从教科书第2页下半部可知 (a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n) =am+an+bm+bn 表明两个多项式相乘，结果仍是一个多项式． 把③式反过来写，就是 am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n) =(a+b)(m+n) 这个式子表明：把一个多项式通过先分组，再化为两个整式的积． 可见③式是做整式乘法，④式是进行因式分解，它们是互逆的两种整式变形． ②式给出了因式分解的一种基本方法──提公因式法，④式给出了因式分解的另一种方法──分组分解法． 这一章就是学习因式分解的几种基本方法． 提公因式法： 同学们看多项式 ma+mb+mc， 各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式． 例如，m是多项式ma+mb+mc的公因式，又如d是ad+bd－d 根据乘法分配律，可得 m(a+b+c)=ma+mb+mc ⑤ 将⑤式反过来，得到多项式ma+mb+mc的因式分解的形式． ma+mb+mc=m(a+b+c) ⑥ 也就是，多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式． 例如，m是多项式ma+mb+mc的公因式，又如d是ad+bd－d 根据乘法分配律，可得 m(a+b+c)=ma+mb+mc 将⑤式反过来，得到多项式ma+mb+mc的因式分解的形式． ma+mb+mc=m(a+b+c) ⑥ 也就是，多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m，可以把公因式m提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成因式m与a+b+c乘积的形式．这里的m既可以是单项式，也可以是多项式． 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法． 下面，我们用提公因式的方法把一些多项式分解因式． 1．公因式是单项式的类型 例1 把8a3b2－12ab3c 解：8a3b2－12ab3c =4ab22a2－4ab23bc =4ab2(2a2－3bc) 例2 把3x2－6xy+x 解：3x2－6xy+x =x3x－x6y+x·1 =x(3x－6y+1) 1作为项的系数，通常可以省略不写，但如果单独成一项时，如例2中的x，它在因式分解过程中不能漏掉，检查是否漏项的方法是用乘法进行验证． 例3 把－4m3+16m2－26m 解：－4m3+16m2－26m =－－(4m3－16m2+26m) =－2m(2m2－8m+13) － 2．公因式是二项式或三项式乘方的类型 例4 把2a(b+c)－3(b+c) 解：令m=b+c，则 2a(b+c)－3(b+c) =(b+c)(2a－3) 5 把6(x－2)+x(2－x) 解：6(x－2)+x(2－x) =6(x－2)－x(x－2) =(x－2)(6－x) 6 把18b(a－b)2－12(a－b)3 解：18b(a－b)2－12(a－b)3 =6(a－b)23b－6(a－b)22(a－b) =6(a－b)2[3b－2(a－b)] =6(a－b)2(3b－2a+2b) =6(a－b)2(5b－2a) 7 把5(x－y)3+10(y－x)2 解：因为(y－x)2=[－(x－y)]2=(x－y)2 5(x－y)3+10(y－x)2 =5(x－y)2(x－y)+5(x－y)22 =5(x－y)2(x－y+2) (1)进行因式分解时常用的一些等式 b－a=－(a－b) (b－a)2=(a－b)2; (b－a)3=－(a－b)3. (2)6；如果化简后的因式化为单项式，要把单项式因式写在前面，如 (m+n)(p+q)－(m+n)(p－q) =(m+n)[(p+q)