第35题 应用正弦定理和余弦定理解三角形-2018精品之高中数学理黄金100题系列原卷版.docVIP

第 35题 应用正弦定理和余弦定理解三角形 I．题源探究·黄金母题 【例1】在△ABC中，，解三角形． 【解析】 ==-=-0．2444，∴≈104°， ∴都是锐角，由正弦定理得， ∴=0．6468，∴=40°， ∴=36°． 精彩解读 【试题来源】人教版A版必修5第10页A组第4题（1）． 【母题评析】本题考查利用正余弦定理解三角形． 【思路方法】已知三角形三边解三角形问题，先用余弦定理求出最大边所对的角，再用正弦定理解出其余两角． II．考场精彩·真题回放 【例2】【2017在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 A B． C． D． 【答案】A 【解析】所以，选A．【2017已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．?点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cosBDC=_______． 【答案】 【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，△ABE中，，，． 又，， 综上可得，△BCD面积为，．理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为． （1）求sinBsinC； （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长． 【解析】 试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为． 试题解析：（1）由题设得，即． 由正弦定理得．故． （2）由题设及（1）得，即． 所以，故． 由题设得，即． 由余弦定理得，即，得．故的周长为．【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知， （1）求； （2）若，的面积为，求． 【答案】(1)； (2)． 【解析】 试题分析：利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；利用（1）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出． 试题解析：(1)由题设及，，故． 上式两边平方，整理得， 解得(舍去)，． （2）由得，故．又，则． 由余弦定理及得： 所以b=2．【命题意图】 【考试方向】【难点中心】 III．理论基础·解题原理 考点一 正弦定理及其变形 1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（为外接圆半径） 变形，，；②； ③；．余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 ；；． 推论：；；． 变形：；；． 【考试方向】 【技能方法】 2．形解得情况，如在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系 式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 沟通三个内角的关系． 4．常用结论：；； ；【】 V．举一反三·触类旁通 考向1 正弦定理应用 【例6】【2017△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C= A． B． C． D． 【2017△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知C=60°，b=，c=3，则A=_________ 【例8】【2017北京，理15】在△ABC中， =60°，c=a． （）求sinC的值； （）若a=7求△ABC的面积． 中，的对边分别为．，大小为（ ） A． B． C．或 D．或 2．在锐角中，角的对边分别为，若， ，则的取值范围（ ） A． B． C． D． ．黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在中，角的对边分别为，已知，解得，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件（ ） A． B． C． D． 中，内角所对的边分别为．已知，，． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的值． 【跟踪练习】 1．在中，角的对边分别为，若，则（ ） A． B． C． D． ．在斜中，角的对边分别为， ，则（ ） A． B． C． D． 的内角的对边分别为，且，则____． 考向3 正弦定理与余弦定理的综合应用 【例10】【2017天津，理15】在中，内角所对的边分别为．已知，． （I）的值； （II）求 【例11】已知为的角平分线， ． 【跟踪练习】 1．在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=，则AC=_______． ．已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中， 为的内角的对边，且满足． （1）证明： ； （2）若，设， ， ，求四边形